线段树 Interval Tree

一、线段树

线段树既是线段也是树，并且是一棵二叉树，每个结点是一条线段,每条线段的左右儿子线段分别是该线段的左半和右半区间，递归定义之后就是一棵线段树。

 

例题：给定N条线段，{[2, 5], [4, 6], [0, 7]}, M个点{2, 4, 7},判断每个点分别在几条线段出现过？

1、构建线段树

 

2、处理线段

三条线段分割之后

 3、查询

对于每一个值我们就可以开始遍历这一颗线段树，加上对于结点的count字段便是在线段中出现的次数

比如对于4，首先遍历[0, 7]，次数 = 0+1=1；4在右半区间，遍历[4, 7],次数 = 1+0=0;4在[4, 7]左半区间, 次数 = 1+2=3;4在[4, 5]左半区间,次数 = 3+0 = 4，遍历结束，次数 = 3说明4在三条线段中出现过,同理可求其他的值，这一步的时间复杂度为O(M*log(MAX-MIN))

 

二、线段树的存储数据结构

储一颗线段树和二叉树有点类似，需要左孩子和右孩子节点，另外，为了存储每条线段出现的次数，所以一般会加上计数的元素。

struct Node         // 线段树
{
    int left;
    int right;
    int counter;
}segTree[4*BORDER]; 

 

三、线段树支持的操作

一颗线段树至少支持以下四个操作：

• void construct(int index, int lef, int rig)，构建线段树 根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树
• void insert(int index, int start, int end)，插入线段[start,end]到线段树, 同时计数区间次数
• int query(int index, int x)，查询点x的出现次数，从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数
• void delete_ (int c , int d, int index)，从线段树中删除线段[c,d]

 

四、线段树的特征

1、线段树的深度不超过logL（L是最长区间的长度）

2、线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2logL条线段。

线段树能在O(logL)的时间内完成一条线段的插入、删除、查找等工作。

 

五、线段树的应用

线段树适用于和区间统计有关的问题。比如某些数据可以按区间进行划分，按区间动态进行修改，而且还需要按区间多次进行查询，那么使用线段树可以达到较快查询速度。

(1)：区间最值查询问题 （见模板1）

(2)：连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （见模板2）

(3)：多维空间的动态查询 （见模板3）

 

六、模板代码

模板1：

RMQ，查询区间最值下标---min

#include    
  
using namespace std;    
    
#define MAXN 100    
#define MAXIND 256 //线段树节点个数    
    
//构建线段树,目的:得到M数组.    
void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])    
{    
    if (b == e)    
        M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标    
    else    
    {     
        build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);    
        build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);    
  
        if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])    
            M[node] = M[2 * node];    
        else    
            M[node] = M[2 * node + 1];    
    }    
}    
    
//找出区间 [i, j] 上的最小值的索引    
int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)    
{    
    int p1, p2;    
    
    //查询区间和要求的区间没有交集    
    if (i > e || j < b)    
        return -1;    
  
    if (b >= i && e <= j)    
        return M[node];    
   
    p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);    
    p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);    
    
    //return the position where the overall    
    //minimum is    
    if (p1 == -1)    
        return M[node] = p2;    
    if (p2 == -1)    
        return M[node] = p1;    
    if (A[p1] <= A[p2])    
        return M[node] = p1;    
    return M[node] = p2;    
    
}    
    
    
int main()    
{    
    int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.    
    memset(M,-1,sizeof(M));    
    int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};    
    build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);    
    cout<1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl;    
    return 0;    
}  

 

模板2：

连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （此模板查询区间和）

#include     
#include     
using namespace std;    
     
#define lson l , m , rt << 1    
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1   
#define root 1 , N , 1   
#define LL long long    
const int maxn = 111111;    
LL add[maxn<<2];    
LL sum[maxn<<2];    
void PushUp(int rt) {    
    sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];    
}    
void PushDown(int rt,int m) {    
    if (add[rt]) {    
        add[rt<<1] += add[rt];    
        add[rt<<1|1] += add[rt];    
        sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));    
        sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);    
        add[rt] = 0;    
    }    
}    
void build(int l,int r,int rt) {    
    add[rt] = 0;    
    if (l == r) {    
        scanf("%lld",&sum[rt]);    
        return ;    
    }    
    int m = (l + r) >> 1;    
    build(lson);    
    build(rson);    
    PushUp(rt);    
}    
void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {    
    if (L <= l && r <= R) {    
        add[rt] += c;    
        sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);    
        return ;    
    }    
    PushDown(rt , r - l + 1);    
    int m = (l + r) >> 1;    
    if (L <= m) update(L , R , c , lson);    
    if (m < R) update(L , R , c , rson);    
    PushUp(rt);    
}    
LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {    
    if (L <= l && r <= R) {    
        return sum[rt];    
    }    
    PushDown(rt , r - l + 1);    
    int m = (l + r) >> 1;    
    LL ret = 0;    
    if (L <= m) ret += query(L , R , lson);    
    if (m < R) ret += query(L , R , rson);    
    return ret;    
}    
int main() {    
    int N , Q;    
    scanf("%d%d",&N,&Q);    
    build(root);    
    while (Q --) {    
        char op[2];    
        int a , b , c;    
        scanf("%s",op);    
        if (op[0] == 'Q') {    
            scanf("%d%d",&a,&b);    
            printf("%lld\n",query(a , b ,root));    
        } else {    
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);    
            update(a , b , c , root);    
        }    
    }    
    return 0;    
}    

 

模板3：

多维空间的动态查询

（留待填充）

 

模板4：用指针构建的线段树

#include 
using namespace std;
struct Line{
  int left, right, count;
  Line *leftChild, *rightChild;
  Line(int l, int r): left(l), right(r) {}
};

//建立一棵空线段树
void createTree(Line *root) {
  int left = root->left;
  int right = root->right;
  if (left < right) {
    int mid = (left + right) / 2;
    Line *lc =  new Line(left, mid);
    Line *rc =  new Line(mid + 1, right);
    root->leftChild = lc;
    root->rightChild = rc;
    createTree(lc);
    createTree(rc);
  }
}

//将线段[l, r]分割
void insertLine(Line *root, int l, int r) {
  cout << l << " " << r << endl;
  cout << root->left << " " << root->right << endl << endl;
  if (l == root->left && r == root->right) {
    root->count += 1;
  } else if (l <= r) {
    int rmid = (root->left + root->right) / 2;
    if (r <= rmid) {
      insertLine(root->leftChild, l, r);
    } else if (l >= rmid + 1) {
      insertLine(root->rightChild, l, r);
    } else {
      int mid = (l + r) / 2;
      insertLine(root->leftChild, l, mid);
      insertLine(root->rightChild, mid + 1, r);
    }
  }
}
//树的中序遍历（测试用）
void inOrder(Line* root) {
  if (root != NULL) {
    inOrder(root->leftChild);
    printf("[%d, %d], %d\n", root->left, root->right, root->count);
    inOrder(root->rightChild);
  }
}

//获取值n在线段上出现的次数
int getCount(Line* root, int n) {
  int c = 0;
  if (root->left <= n&&n <= root->right)
    c += root->count;
  if (root->left == root->right)
    return c;
  int mid = (root->left + root->right) / 2;
  if (n <= mid)
    c += getCount(root->leftChild, n);
  else
    c += getCount(root->rightChild, n);
  return c;
}
int main() {
  int l[3] = {2, 4, 0};
  int r[3] = {5, 6, 7};
  int MIN = l[0];
  int MAX = r[0];
  for (int i = 1; i < 3; ++i) {
    if (MIN > l[i]) MIN = l[i];
    if (MAX < r[i]) MAX = r[i];
  }
  Line *root = new Line(MIN, MAX);
  createTree(root);
  for (int i = 0; i < 3; ++i) {
    insertLine(root, l[i], r[i]);
  }
  inOrder(root);
  int N;
  while (cin >> N) {
    cout << getCount(root, N) << endl;
  }
  return 0;
}

 

七、ACM题

在代码前先介绍一些线段树风格:

• maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2^x的两倍
• lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
• 以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合lson和rson的预定义可以很方便
• PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点
• PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
• rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

整理这些题目后我觉得线段树的题目整体上可以分成以下四个部分:

（1）单点更新:

最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用PushUP(int r)这个函数更新上来

hdu1166 敌兵布阵

题意:O(-1)

思路:O(-1)

线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

code 1:

#include  
#include  
  
#define M 50005  
#define lson l,m,rt<<1  
#define rson m+1,r,rt<<1|1  
/*left,right,root,middle*/  
  
int sum[M<<2];  
  
inline void PushPlus(int rt)  
{  
    sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
}  
  
void Build(int l, int r, int rt)  
{  
    if(l == r)  
    {  
        scanf("%d", &sum[rt]);  
        return ;  
    }  
    int m = ( l + r )>>1;  
  
    Build(lson);  
    Build(rson);  
    PushPlus(rt);  
}  
  
void Updata(int p, int add, int l, int r, int rt)  
{  
  
    if( l == r )  
    {  
        sum[rt] += add;  
        return ;  
    }  
    int m = ( l + r ) >> 1;  
    if(p <= m)  
        Updata(p, add, lson);  
    else  
        Updata(p, add, rson);  
  
    PushPlus(rt);  
}  
  
int Query(int L,int R,int l,int r,int rt)  
{  
    if( L <= l && r <= R )  
    {  
        return sum[rt];  
    }  
    int m = ( l + r ) >> 1;  
    int ans=0;  
    if(L<=m )  
        ans+=Query(L,R,lson);  
    if(R>m)  
        ans+=Query(L,R,rson);  
  
    return ans;  
}  
int main()  
{     
    int T, n, a, b;  
    scanf("%d",&T);  
    for( int i = 1; i <= T; ++i )  
    {  
        printf("Case %d:\n",i);  
        scanf("%d",&n);  
        Build(1,n,1);  
  
        char op[10];  
  
        while( scanf("%s",op) &&op[0]!='E' )  
        {  
  
            scanf("%d %d", &a, &b);  
            if(op[0] == 'Q')  
                printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));  
            else if(op[0] == 'S')  
                Updata(a,-b,1,n,1);  
            else  
                Updata(a,b,1,n,1);  
  
        }  
    }  
    return 0;  
}  

code 2：

#include 
#include 

using namespace std;

const int NMAX = 50005;
int n;
int a[NMAX];
struct Node {
    int left, right, sum;
};
Node node[4*NMAX];

void push_up(int pos) {
    node[pos].sum = node[pos<<1].sum + node[(pos<<1)+1].sum;
}

void build(int left, int right, int pos) {
    node[pos].left = left;
    node[pos].right = right;
    if (left == right) {
        node[pos].sum = a[left];
        return;
    }
    int mid = (left + right) >> 1;
    build(left, mid, pos<<1);
    build(mid+1, right, (pos<<1)+1);
    push_up(pos);
}

void update(int index, int val, int pos) {
    if (node[pos].left == node[pos].right) {
        node[pos].sum += val;
        return;
    }
    int mid = (node[pos].left + node[pos].right) >> 1;
    if (index <= mid) update(index, val, pos<<1);
    else update(index, val, (pos<<1)+1);
    push_up(pos);
}

int query(int left, int right, int pos) {
    if (node[pos].left == left && node[pos].right == right) return node[pos].sum;
    int mid = (node[pos].left + node[pos].right) >> 1;
    if (left > mid) return query(left, right, (pos<<1)+1);
    else if (right <= mid) return query(left, right, pos<<1);
    else return query(left, mid, pos<<1) + query(mid+1, right, (pos<<1)+1);
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for (int i=0; i) {
        scanf("%d", &n);
        for (int j=1; j<=n; j++) {
            scanf("%d", a+j);
        }

        printf("Case %d:\n", i+1);
        build(1, n, 1);
        getchar();
        int x, y;
        char cs[10];
        while (scanf("%s",cs) && cs[0] != 'E') {
            scanf("%d%d%*c", &x, &y);
            if (cs[0] == 'Q') printf("%d\n", query(x, y, 1));
            else if (cs[0] == 'A') update(x, y, 1);
            else update(x, -y, 1);
        }
    }
    return 0;
}

 

  

 

八、Reference：

1、菜鸟都能理解的线段树入门经典

2、【完全版】线段树 http://www.notonlysuccess.com/index.php/segment-tree-complete/

3、线段树(segment tree)

4、数据结构：线段树

5、数据结构专题——线段树

6、线段树专题【暂停更新中】