矩阵快速幂练习

参考 http://m.blog.csdn.net/article/details?id=52058209

应用篇

主要通过把数放到矩阵的不同位置，然后把普通递推式变成"矩阵的等比数列"，最后快速幂求解递推式:

先通过入门的题目来讲应用矩阵快速幂的套路(会这题的也可以看一下套路)：

例一: http://poj.org/problem?id=3070
题目：斐波那契数列f(n),给一个n，求f(n)%10000,n<=1e9;

(这题是可以用fibo的循环节去做的，不过这里不讲，反正是水题)

矩阵快速幂是用来求解递推式的，所以第一步先要列出递推式:

 f(n)=f(n-1)+f(n-2)

第二步是建立矩阵递推式，找到转移矩阵:

,简写成T * A(n-1)=A(n)，T矩阵就是那个2*2的常数矩阵，而

这里就是个矩阵乘法等式左边:1*f(n-1)+1*f(n-2)=f(n);1*f(n-1)+0*f(n-2)=f(n-1);

这里还是说一下构建矩阵递推的大致套路,一般An与A(n-1)都是按照原始递推式来构建的，当然可以先猜一个An,主要是利用矩阵乘法凑出矩阵T,第一行一般就是递推式，后面的行就是不需要的项就让与其的相乘系数为0。矩阵T就叫做转移矩阵(一定要是常数矩阵),它能把A(n-1)转移到A(n);然后这就是个等比数列，直接写出通项:此处A1叫初始矩阵。所以用一下矩阵快速幂然后乘上初始矩阵就能得到An,这里An就两个元素(两个位置)，根据自己设置的A(n)对应位置就是对应的值，按照上面矩阵快速幂写法，res[1][1]=f(n)就是我们要求的。

给一些简单的递推式
1.f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)+c；（a,b,c是常数）

2.f(n)=c^n-f(n-1) ；（c是常数）

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练习1

http://poj.org/problem?id=3070

用结构体封装一下，代码会整洁一点。

const int N = 2;
const int mod = 10000;
struct matrix {
    int m[N][N];
};

matrix multi(matrix a, matrix b)
{
    matrix tmp;
    memset(&tmp, 0, sizeof(tmp));
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        for (int j = 0; j < N; ++j)
            for (int k = 0; k < N; ++k)
            {
                tmp.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j];
                tmp.m[i][j] %= mod; 
            }

    return tmp;
}

matrix Pow(matrix a, int n)
{
    matrix res;
    memset(&res, 0, sizeof(res));
    for (int i = 0; i < N; ++i) res.m[i][i] = 1;

    while (n)
    {
        if (n % 2 == 1)
            res = multi(res, a);
        a = multi(a, a);
        n /= 2;
    }

    return res;
}

int main()
{
    matrix a;

    a.m[0][0] = 1;
    a.m[0][1] = 1;
    a.m[1][0] = 1;
    a.m[1][1] = 0;

    int n;

    while (cin >> n && n!=-1)
    {   
        matrix res = Pow(a, n);
        cout << res.m[1][0] << endl;
    }

    system("pause");
}

练习二

http://poj.org/problem?id=3233
找到转移矩阵

要注意的是转移矩阵相乘的次数是k-1，因为一开始已经有一个S1了。

using namespace std;

const int N = 61;
int mod ;

struct matrix {
    int m[N][N];
};

matrix multi(matrix a, matrix b,int n)
{
    matrix tmp;
    memset(&tmp, 0, sizeof(tmp));
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            for (int k = 0; k < n; ++k)
            {
                tmp.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j];
                tmp.m[i][j] %= mod; 
            }

    return tmp;
}


matrix Pow(matrix a,long long k,int n)
{
    matrix res;
    memset(&res, 0, sizeof(res));
    for (int i = 0; i < N; ++i) res.m[i][i] = 1;

    while (k)
    {
        if (k % 2 == 1)
            res = multi(res, a,n);
        a = multi(a, a,n);
        k /= 2;
    }

    return res;
}

void poj3323()
{
    int n;
    long long k;
    matrix T,S;

    cin >> n >> k >> mod;

    memset(&T, 0, sizeof(T));
    memset(&S, 0, sizeof(S));
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        T.m[i][i] = 1;

    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        for (int j = n; j < 2*n; ++j)
        {
            cin >> T.m[i][j];
            T.m[i + n][j] = T.m[i][j];
            S.m[i][j - n] = T.m[i][j];
            S.m[i + n][j - n] = T.m[i][j];
        }
    }

    T = Pow(T, k-1, 2 * n); //注意传入参数是k-1
    S = multi(T, S, 2 * n);

    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < n; ++j)
        {
            cout << S.m[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }

}
int main()
{
    poj3323();

}

练习三

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2276

这个跟网易面试题 魔力手环很像。

const int N = 101;


struct matrix {
    int m[N][N];
};

matrix multi(matrix a, matrix b,int n)
{
    matrix tmp;
    for (int i = 0; i < n; ++i)

        for (int j = 0; j < n; ++j)
        {
            tmp.m[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < n; ++k)
            {
                tmp.m[i][j] ^= a.m[i][k] & b.m[k][j];   //这里从原来的模运算调优

            }

        }

    return tmp;
}


matrix Pow(matrix a,long long k,int n)
{
    matrix res;
    memset(&res, 0, sizeof(res));
    for (int i = 0; i < N; ++i) res.m[i][i] = 1;

    while (k)
    {
        if (k&1)
            res = multi(res, a,n);
        a = multi(a, a,n);
        k = k >>1;
    }

    return res;
}

void hdu2276()
{
    int n,k;
    char light[101];
    matrix T,S;

    while (scanf("%d",&k)!=EOF) 
    {
        scanf("%s", light);
        n = strlen(light);


        memset(&T, 0, sizeof(T));
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            T.m[i][i] = 1;
            T.m[(i +n- 1) % n][i] = 1;
        }
        for(int i = 0; i0][i] = light[i]-'0';
        }

        T = Pow(T, k, n);
        S = multi(S, T, n);

        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            printf("%d",S.m[0][i]);
        }
        printf("\n");

    }


}

int main()
{
    hdu2276();

}