Q老师的考验（矩阵快速幂）

问题描述

Q老师 对数列有一种非同一般的热爱，尤其是优美的斐波那契数列。

这一天，Q老师 为了增强大家对于斐波那契数列的理解，决定在斐波那契的基础上创建一个新的数列 f(x) 来考一考大家。数列 f(x) 定义如下：

当 x < 10 时，f(x) = x；
当 x ≥ 10 时，f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10)，ai 只能为 0 或 1。

Q老师 将给定 a0～a9，以及两个正整数 k m，询问 f(k) % m 的数值大小。

聪明的你能通过 Q老师 的考验吗？

Input

输出文件包含多组测试用例，每组测试用例格式如下：

第一行给定两个正整数 k m。（k < 2e9, m < 1e5）

第二行给定十个整数，分别表示 a0～a9。

Output

对于每一组测试用例输出一行，表示 f(k) % m 的数值大小。

Sample input

10 9999
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20 500
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Sample output

45
104

解题思路

首先看一下这个函数的线性递推式：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& if(x<10)\\ a0\times f(x-1)+a1\times f(x-2)+a2\times f(x-3)+\dots \dots +a9\times f(x-10),& if(x\ge 10)\end{array}$$
注意k的取值范围是k < 2e9，如果我们单纯用线性递推式来做，无法再1s中得到结果，联想到矩阵快速幂可以用来求解线性递推公式，因此我们使用矩阵快速幂来做。

构造的转移矩阵如下所示：
$${\left[\begin{array}{c}f(x)\\ f(x-1)\\ f(x-2)\\ f(x-3)\\ ⋮\\ f(x-9)\end{array}\right]}_{1\times 10}={\left[\begin{array}{cccccc}{a}_0& a_1& a_2& a_3& \cdots & a_9\\ 1& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{10\times 10}{\left[\begin{array}{c}f(x-1)\\ f(x-2)\\ f(x-3)\\ f(x-4)\\ ⋮\\ f(x-10)\end{array}\right]}_{1\times 10}$$
根据这个转移矩阵结合矩阵快速幂，可以将时间复杂度降低到$O(logk)$。

完整代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int maxn=11;
struct Matrix{
    Matrix(int _size=0) {
        Size=_size; mat=new int*[Size];
        for (int i=0; i<Size; i++) mat[i]=new int[Size];
        for (int i=0; i<Size; i++)
            for (int j=0; j<Size; j++)
                mat[i][j]=0;
    }
    Matrix(const Matrix& t){
        Size=t.Size; mat=new int*[Size];
        for (int i=0; i<Size; i++) mat[i]=new int[Size];
        memcpy(mat,t.mat,sizeof(mat));
    }
    ~Matrix(){
        for (int i=0; i<Size; i++) delete[] mat[i];
        delete[] mat;
    }
    Matrix operator*(const Matrix& t) const{
        Matrix ret(Size);
        for (int i=0; i<Size; ++i)
            for (int j=0; j<Size; ++j)
                for (int k=0; k<Size; ++k)
                    ret.mat[i][j]+=mat[i][k]*t.mat[k][j];
        return ret;
    }
    Matrix operator%(const int m) const {
        Matrix ret(Size);
        for (int i=0; i<Size; i++)
            for (int j=0; j<Size; j++)
                ret.mat[i][j]=mat[i][j]%m;
        return ret;
    }
    Matrix& operator=(const Matrix& t){
        for (int i=0; i<Size; i++) delete[] mat[i];
        delete[] mat;
        Size=t.Size;
        mat=new int*[Size];
        for (int i=0; i<Size; i++) mat[i]=new int[Size];
        for (int i=0; i<Size; i++)
            for (int j=0; j<Size; j++)
                mat[i][j]=t.mat[i][j];
        return *this;
    }
    void quick_pow(int x,int m){//x次幂模m
        Matrix ret(Size);
        for (int i=0; i<Size; i++) ret.mat[i][i]=1;
        while(x){
            if(x&1) {
                ret=ret*(*this); ret=ret%m;
            }
            *this=(*this)*(*this);
            *this=(*this)%m;
            x>>=1;
        }
        *this=ret;
    }
    int Size;
    int** mat;
};
int a[maxn],k,m;
int getint(){
    int x=0,s=1; char ch=' ';
    while(ch<'0' || ch>'9'){ ch=getchar(); if(ch=='-') s=-1;}
    while(ch>='0' && ch<='9'){ x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*s;
}
int main(){
    //ios::sync_with_stdio(false);
    //cin.tie(0);
    while(scanf("%d %d",&k,&m)!=EOF){
        if(k<10){
            printf("k\n"); continue;
        }
        Matrix mat1(10);
        for (int i=0; i<10; i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            mat1.mat[0][i]=a[i];
        }
        for (int i=1; i<10; i++)
            mat1.mat[i][i-1]=1;

        mat1.quick_pow(k-9,m);

        long long ans=0;
        for (int i=0; i<10; i++)
            ans+=mat1.mat[0][i]*(9-i);
        ans%=m;
        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}