网络流24题之太空飞行计划——最大权闭合子图
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- [网络流24题] 太空飞行计划
★★☆ 输入文件：shuttle.in 输出文件：shuttle.out 简单对比
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【问题描述】
W 教授正在为国家航天中心计划一系列的太空飞行。每次太空飞行可进行一系列商业性实验而获取利润。现已确定了一个可供选择的实验集合E={E1,E2,…,Em}，和进行这些实验需要使用的全部仪器的集合I={ I1, I2,…,In }。实验Ej 需要用到的仪器是I的子集Rj∈I。配置仪器Ik 的费用为ck 美元。实验Ej 的赞助商已同意为该实验结果支付pj 美元。W教授的任务是找出一个有效算法，确定在一次太空飞行中要进行哪些实验并因此而配置哪些仪器才能使太空飞行的净收益最大。这里净收益是指进行实验所获得的全部收入与配置仪器的全部费用的差额。
【编程任务】
对于给定的实验和仪器配置情况，编程找出净收益最大的试验计划。
【数据输入】
第1行有2个正整数m和n(m,n <= 100)。m是实验数，n是仪器数。接下来的m行，每行是一个实验的有关数据。第一个数赞助商同意支付该实验的费用；接着是该实验需要用到的若干仪器的编号。最后一行的n个数是配置每个仪器的费用。
【结果输出】
第1行是实验编号；第2行是仪器编号；最后一行是净收益。
【输入文件示例】shuttle.in
2 3
10 1 2
25 2 3
5 6 7
【输出文件示例】shuttle.out
1 2
1 2 3
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题解：本题为最大权闭合子图。首先引入一个闭合图的概念。
闭合图就是原图的一个子图,如果一个点u在这个子图内,那么它连出去的所有点v也要在这个子图内。
最大权闭合图就是点的权值和最大的闭合图。
模型分析：
1.很明显这是一个二分图,每个实验向需要的仪器连有向边,实验的点权为正,仪器的点权为负,要求最大权闭合图。
2.这是一个选或不选的问题,所以可以转化成最小割的模型，把选的归为S集,不选的归为T集。但是要求获利最大，最小割是最小,所以我们要换个角度,要求扣的钱最少,因为所有实验的前都加起来是一定的。
3.在最小割中,如果把S到所有试验表示的点连一条容量为奖励的钱（A类弧）,所有仪器到T连一条容量为启动仪器的钱（b类弧）,如果把A类弧割掉了,那么对应的那个实验就归到了T集,也就是不做了,那么就会有损失。如果把B类弧割掉了,那么相应的那个仪器归到了S集,也就是有损失。所有最小割就是使得损失最少的方案。
构图方法:
1.增加源点S和汇点T。
2.从S到所有实验连一条边,容量为其获利,从所有仪器到T连一条边，容量为其花费。
3.从每个实验到相应的仪器连容量为inf的边.
用上述方法实际上只能过10/12的点，因为没有特判定,默认是做的实验越多越好.也就是说有多个最小割的时候,尽可能少割A类弧。所以我们可以把所有弧的容量都乘以一个较大的数,然后让A类弧的容量都+1。这样求出的最小割一定是原图的最小割,并且尽可能少割A类弧. 经过测试通过了所有测试点。
总结:
1.最大权闭合图的通用解法：S到正权值的点连边,容量为其权值,负权值的点到T连边，容量为其绝对值,然后原图中的边容量为inf,ans=所有正权和-最小割。具体证明可以参考胡伯涛的论文。