USACO 201901 白金组T1 redistricting题解

传送门

题目大意

Bovinopolis城市有$1\le n\le 3\times 10^5$块牧草地形成一条线，每一块有一头牛，是Guernsey或Holstein（两种牛的品种）。

现在要把这座城市的牧草地分为一些连续的区间，每个区间有不超过$1\le k\le n$个牧草地。

由于政府被Holstein控制，所以需要使Guernsey更多或Guernsey和Holsteins一样多的区间个数最小化。请求出这个最小值。

题解

首先要学会$O(nk)$的DP：设$dp[i]$是前$i$块牧草地的答案。

把Holsteins标为1，把Guernsey标为-1，设前缀和为$S[i]$，则区间$[l,r]$被Guernsey占领的充要条件是$S[r]-S[l-1]\le 0$。

$$dp[i]=\underset{j=i-1}{\overset{i-k}{\max }}dp[j]+[S[i]-S[j]\le 0]$$

即

$$dp[i]=\underset{j=i-1}{\overset{i-k}{\max }}dp[j]+[S[i]\le S[j]]$$

接下来考虑用线段树优化。

对于每个$1\le i\le n$，分别统计线段树下标$(-\infty ,S[i])$和$[S[i],+\infty )$处的dp最小值，然后把$dp[i]$存入$S[i]$的下标处。

记得实时滑动窗口使得线段树存着$dp[i-k,\dots ,i-1]$的信息。

最终$dp[n]$就是答案。

那么问题来了：如果两个点的$S$值相等，那么会导致覆盖信息，怎么办？

很简单，把$[1,n]$中的点按$S$值排序，并把$n$个点按照这个顺序存在线段树里即可。

#include
using namespace std;
const int N=300005;
int n,k,s[N],tre[N<<2],p1[N],p2[N],d[N];//p1=value,p2=index
pair<int,int>p[N];
char str[N];
#define mid ((l+r)>>1)
#define ls c<<1,l,mid
#define rs c<<1|1,mid+1,r
void build(int c,int l,int r){
	tre[c]=N;if(l==r)return;
	build(ls),build(rs);
}
int query(int c,int l,int r,int L,int R){
	if(r<L||R<L||R<l)return N;
	if(L<=l&&r<=R)return tre[c];
	return min(query(ls,L,R),query(rs,L,R));
}
void upd(int c,int l,int r,int x,int v){
	if(l==r){tre[c]=v;return;}
	if(x<=mid)upd(ls,x,v);else upd(rs,x,v);
	tre[c]=min(tre[c<<1],tre[c<<1|1]);
}
int main(){
	freopen("redistricting.in","r",stdin);
	freopen("redistricting.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%s",&n,&k,str+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){s[i]=s[i-1];if(str[i]=='G')--s[i];else ++s[i];}
	for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=make_pair(s[i],i);sort(p,p+n+1);
	for(int i=0;i<=n;i++)p1[i]=p[i].first,p2[p[i].second]=i;
	build(1,0,n);upd(1,0,n,p2[0],0);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int id=lower_bound(p1,p1+n+1,s[i])-p1;
		d[i]=min(query(1,0,n,0,id-1),query(1,0,n,id,n)+1);
		upd(1,0,n,p2[i],d[i]);if(k<=i)upd(1,0,n,p2[i-k],N);
	}
	printf("%d",d[n]);
	return 0;
}