数学期望的另一种理解

今天遇到了一个关于数学期望的问题，发现了期望一个有意思的理解方式。

• 问题背景：

在袋子里面有10个球，4个红球，6个蓝球，每次抓取一个球，问抓4次球，每次都放回，抓到红球的次数的期望是多少。

• 期望定义

期望是每次实验 $\sum 可能的结果\ast 出现的概率$

• 解决方法1：

我们认为实验指的是抓四次球，所以需要知道$P(红球数=0)$直到$P(红球数=4)$的概率，然后每个概率乘以红球的数量，最后相加。
$$P(红球数=0)=C_4^0\ast {\frac{2}{5}}^0\ast {\frac{3}{5}}^4=\frac{81}{625}$$
$$P(红球数=1)=C_4^1\ast {\frac{2}{5}}^1\ast {\frac{3}{5}}^3=\frac{216}{625}$$
$$P(红球数=2)=C_4^2\ast {\frac{2}{5}}^2\ast {\frac{3}{5}}^2=\frac{216}{625}$$
$$P(红球数=3)=C_4^3\ast {\frac{2}{5}}^3\ast {\frac{3}{5}}^1=\frac{96}{625}$$
$$P(红球数=4)=C_4^4\ast {\frac{2}{5}}^4\ast {\frac{3}{5}}^0=\frac{16}{625}$$
$$E[红球数量]=\sum _{n=0}^{4}P(红球数=n)\ast n=\frac{0}{625}+\frac{216}{625}+\frac{432}{625}+\frac{288}{625}+\frac{64}{625}=\frac{1000}{625}=\frac{8}{5}$$

• 解决办法2：

我们认为实验指的是抓一次球，因为要放回的抓球，所以每次抓球可以看做相互独立的，所以可以看做是同一个实验做了4次, 每一次实验的期望是:
$$E[红球数量]=1\ast \frac{2}{5}+0\ast \frac{3}{5}=\frac{2}{5}$$
所以4次独立实验的结果是
$$\frac{2}{5}\ast 4=\frac{8}{5}$$

• 思考:

从期望的概念来说：期望是每次实验 $\sum 可能的结果\ast 出现的概率$，但是实验定义是什么却是可以改变的，把一次实验拆分成多个独立的实验，从而简化了问题的计算量。