HUFFMAN数（最优二叉树）的构造（数组实现）

一、基本概念

1、赫夫曼（Huffman）树又称最优二叉树或最优搜索树，是一种带权路径长度最短的二叉树。在许多应用中，常常赋给树中结点一个有某种意义的实数，称此实数为该结点的权。从树根结点到该结点之间的路径长度与该结点上权的乘积称为结点的带权路径长度(WPL)，树中所有叶子结点的带权路径长度之和称为该树的带权路径长度，通常记为：

2、两结点间的路径：从一结点到另一结点所经过的结点序列;路径长度：从根结点到相应结点路径上的分支数目;树的路径长度：从根到每一结点的路径长度之和。

3、深度为k，结点数为n的二叉树，当且仅当每个结点的编号都与相同深度的满二叉树中从1到n的结点一一对应时，称为完全二叉树。在结点数目相同的二叉树中完全二叉树是路径长度最短的二叉树。

4、WPL最小的二叉树是最优二叉树(Huffman 树)。

5、赫夫曼（Huffman）树的特征

① 当叶子上的权值均相同时，完全二叉树一定是最优二叉树。否则完全二叉树不一定是最优二叉树。

② 在最优二叉树中，权值越大的叶子离根越近。

③ 最优二叉树的形态不唯一，但WPL最小。

如上图中，只有(d)才是赫夫曼树。其中，圆围中的数值代表权值。

二、算法思想

(1) 以权值分别为W1,W2．．．Ｗｎ的ｎ各结点，构成n棵二叉树T1,T2,．．．Tn并组成森林F={T1,T2,．．．Tn},其中每棵二叉树 Ti仅有一个权值为 Wi的根结点；

(2) 在F中选取两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新二叉树，并且置新二叉树根结点权值为左右子树上根结点的权值之和（根结点的权值=左右孩子权值之和，叶结点的权值= Wi）

(3) 从F中删除这两棵二叉树，同时将新二叉树加入到F中;

(4) 重复(2)、(3)直到F中只含一棵二叉树为止，这棵二叉树就是Huffman树。

三、算法描述

①HUFFMAN树结构数组形式
struct node
{
int val;
int lchild;
int rchild;
int parent;
int cs;//层数
}

②初始化，将2*n-1个结点lchild=rchild=parent=-1;cs=0;
再将前n个点权值放入val;
③从n+1到2*n-1个结点开始循环i
每次循环在未被使用过的结点中找出最小的两个结点s1,s2合并，合并的方法具体如下
huf[i].lchild=s1;
huf[i].rchild=s2;
huf[s1].parent=huf[s2].parent=i;
huf[i].val=huf[s1].val+huf[s2].val;
这样就完成了huffman树的数组建立
④层数的获取
这里我用了while循环不断的向上只要huf[i].parent！=-1就将层数++，每个点找一边到最后就能算出WPL

具体代码如下：

#include 
#include 
using namespace std;
struct node
{
    int val;
    int lchild;
    int rchild;
    int parent;
    int cs;
};
int a[1010];
node huf[2010];
int s1=0,s2=0;
void select(int n)
{
    int min=9999999;
    for (int i=0;iif (huf[i].parent==-1) {min=huf[i].val;break;}
    for (int i=0;iif (huf[i].parent==-1&&min>=huf[i].val) s1=i,min=huf[i].val;
    min=9999999;
    for (int i=0;iif (huf[i].parent==-1&&min>=huf[i].val)
            {
                if (s1==i) continue;
                    s2=i;
                    min=huf[i].val;
            }
}
void bin(int n)
{
    for (int i=n;i<2*n-1;i++)
    {
        s1=0;s2=0;
        select(i);
        huf[s1].parent=i;
        huf[s2].parent=i;
        huf[i].lchild=s1;
        huf[i].rchild=s2;
        huf[i].val=huf[s2].val+huf[s1].val;
    }
}
int main()
{
    int n,res=0;
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i"%d",&a[i]);
    for (int i=0;i<2*n-1;i++)
    {
        huf[i].lchild=huf[i].rchild=huf[i].parent=-1;
        if (i0;
    }
    bin(n);
    for (int i=0;iint p=i;
        while (huf[p].parent!=-1)
        {
            p=huf[p].parent;
            huf[i].cs++;
        }
        res+=huf[i].cs*huf[i].val;
       // cout << huf[i].cs << " " <<  huf[i].val << endl;
    }
    cout << res << endl;
}

关于层数实现我想可以直接在建树的时候就可以算出，
等有空下次补充