抄书——叶戈罗夫定理的证明
今天抄郭懋（mao）正《实变函数与泛函分析》中的定理2.3.3——叶戈罗夫定理。
叶戈罗夫定理：
设 f ( x ) , f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯ , f k ( x ) , ⋯ f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdots f(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯ 是可测集E上几乎处处有限的可测函数集，并且 m ( E ) < ∞ m(E)\lt \infty m(E)<∞。若 f k → f , a . e . [ E ] f_k \to f,a.e.[E] fk→f,a.e.[E]，则 { f k ( x ) } \{ f_k(x)\} {fk(x)} 几乎一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)。
分析：
所谓函数序列点点收敛 f k → f f_k \to f fk→f，就是 { f k ( x ) } \{ f_k(x)\} {fk(x)} 与 f ( x ) f(x) f(x) 靠得无限近，也就是指：任意 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ∀ϵ>0，存在 ∃ K ∈ N , ∀ k > K , 都有 ∣ f k − f ∣ < ϵ \exist K \in \mathbb N ,\forall k\gt K, \text{都有} \vert f_k-f\vert \lt \epsilon ∃K∈N,∀k>K,都有∣fk−f∣<ϵ。所谓点点收敛就是对于每个 x ∈ E x\in E x∈E，以上关系都满足，所谓几乎处处点点收敛，指挖掉点点收敛集合后，还剩下的部分的测度为0。若在 E E E 中点点收敛的集合为 A A A，则：
A ⊂ E , A c = E ∖ A ⇒ m ( A c ) = 0 A\subset E,A^c=E\setminus A \Rightarrow m(A^c)=0 A⊂E,Ac=E∖A⇒m(Ac)=0
所谓函数序列一致收敛 f k ⇒ f f_k\Rightarrow f fk⇒f，是在上述点点收敛基础上添加一个区间约束：它要求在整个区间（ E E E）中，只要 k k k 大于某个确定的 K K K，整个区间就满足 ∣ f k − f ∣ < ϵ \vert f_k-f\vert \lt \epsilon ∣fk−f∣<ϵ。它与点点收敛不同的地方就是 K K K 是否确定，点点收敛不要求在整个区间都有同一个 K K K，而一致收敛则要求整个区间的 K K K 一致，即 k k k 只要大于此 K K K（ K K K 只与 ϵ \epsilon ϵ 有关，与x无关），在整个区间都满足不等式关系。
叶戈罗夫定理讲的就是：在 E E E 上，几乎点点收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的函数列 { f k ( x ) } \{ f_k(x)\} {fk(x)}，也几乎一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)。在 E E E 上，严格一致收敛的条件比严格点点收敛的要严苛，而几乎一致收敛却与几乎点点收敛却是等同的。
证明思路是：
1、找到一致收敛的区域；
2、证明它的补的测度可以任意小。
证明：
由题设： f k → f , a . e . [ E ] f_k \to f,a.e.[E] fk→f,a.e.[E]，则在 E E E 中，存在
E ′ = { x ∈ E ∣ lim k → ∞ f k ( x ) = f ( x ) } E'=\{x\in E\vert \lim_{k\to\infty} f_k(x)=f(x)\} E′={x∈E∣k→∞limfk(x)=f(x)}
即在 E ′ E' E′ 中 ∀ ϵ > 0 , ∃ k , J ∈ N \forall \epsilon\gt 0,\exist k,J\in \mathbb N ∀ϵ>0,∃k,J∈N，当 k > J k\gt J k>J，必有 ∣ f k − f ∣ < ϵ \vert f_k-f\vert\lt\epsilon ∣fk−f∣<ϵ。用集合语言来描述它，就变成：
E ′ = { x ∈ E ∣ ∣ f j ( x ) − f ( x ) ∣ < 1 k , ∀ k ∈ N , ∃ J ∈ N , ∀ j > J } . E ′ = ∩ k = 1 ∞ ∪ J = 1 ∞ ∩ j > J ∞ { ∣ f j − f ∣ < 1 k } E'=\{ x\in E\vert \text{ }\vert f_j(x)-f(x) \vert \lt \frac{1}{k},\forall k\in N, \exist J\in N,\forall j\gt J\} \\ . \\ E'=\cap_{k=1}^{\infty}\cup_{J=1}^{\infty}\cap_{j\gt J}^{\infty}\{\vert f_j-f\vert\lt\frac{1}{k}\} E′={x∈E∣ ∣fj(x)−f(x)∣<k1,∀k∈N,∃J∈N,∀j>J}.E′=∩k=1∞∪J=1∞∩j>J∞{∣fj−f∣<k1}
这里的变换有如下关系：
∀ k ∈ N 对应： ∩ k = 1 ∞ \forall k\in N \text{ 对应：} \cap_{k=1}^{\infty} ∀k∈N 对应：∩k=1∞
∃ J ∈ N 对应： ∪ J = 1 ∞ \exist J\in N \text{ 对应：} \cup_{J=1}^{\infty} ∃J∈N 对应：∪J=1∞
简记 E ′ = E ( f k → f ) = { x ∈ E ∣ f k → f } E'=E(f_k\to f)=\{x\in E \vert f_k \to f \} E′=E(fk→f)={x∈E∣fk→f}，则：
E ( f k → f ) = ∩ k = 1 ∞ lim ‾ j → ∞ E ( ∣ f j − f ∣ < 1 k ) E(f_k\to f) = \cap_{k=1}^{\infty} \underline{\lim}_{j\to\infty}E(\vert f_j-f\vert\lt\frac{1}{k}) E(fk→f)=∩k=1∞limj→∞E(∣fj−f∣<k1)
E ′ E' E′的补即：
E ( f k ̸ → f ) = { x ∈ E ∣ f k ̸ → f } = E ∖ E ( f k → f ) = E ∖ ∩ k = 1 ∞ lim ‾ j → ∞ E ( ∣ f j − f ∣ < 1 k ) = ∪ k = 1 ∞ lim ‾ j → ∞ E ( ∣ f j − f ∣ ≥ 1 k ) E(f_k \not\to f)=\{x\in E \vert f_k \not\to f \}=E\setminus E(f_k\to f)\\ =E\setminus \cap_{k=1}^{\infty} \underline{\lim}_{j\to\infty}E(\vert f_j-f\vert\lt\frac{1}{k}) \\ = \cup_{k=1}^{\infty} \overline{\lim}_{j\to\infty}E(\vert f_j-f\vert\ge\frac{1}{k}) E(fk̸→f)={x∈E∣fk̸→f}=E∖E(fk→f)=E∖∩k=1∞limj→∞E(∣fj−f∣<k1)=∪k=1∞limj→∞E(∣fj−f∣≥k1)
由题设：几乎处处点点收敛，因此 m ( E ( f k ̸ → f ) ) = 0 m(E(f_k \not\to f))=0 m(E(fk̸→f))=0，即：
m ( ∪ k = 1 ∞ lim ‾ j → ∞ E ( ∣ f j − f ∣ ≥ 1 k ) ) = 0 m\left(\cup_{k=1}^{\infty} \overline{\lim}_{j\to\infty}E(\vert f_j-f\vert\ge\frac{1}{k})\right)=0 m(∪k=1∞limj→∞E(∣fj−f∣≥k1))=0
因此有：
m ( lim ‾ j → ∞ E ( ∣ f j − f ∣ ≥ 1 k ) ) = 0 m ( ∩ J = 1 ∞ ∪ j = J ∞ E ( ∣ f j − f ∣ ≥ 1 k ) ) = 0 m\left(\overline{\lim}_{j\to\infty}E(\vert f_j-f\vert\ge\frac{1}{k})\right)=0\\ m\left(\cap_{J=1}^{\infty}\cup_{j=J}^{\infty} E(\vert f_j-f\vert\ge\frac{1}{k})\right)=0 m(limj→∞E(∣fj−f∣≥k1))=0m(∩J=1∞∪j=J∞E(∣fj−f∣≥k1))=0
令：
B 1 = ∪ j = 1 ∞ E ( ∣ f j − f ∣ ≥ 1 k ) . B 2 = ∪ j = 2 ∞ E ( ∣ f j − f ∣ ≥ 1 k ) ⋯ 有： B 1 ⊃ B 2 ⊃ B 3 ⋯ m ( ∩ J = 1 ∞ ∪ j = J ∞ E ( ∣ f j − f ∣ ≥ 1 k ) ) = m ( ∩ J = 1 ∞ B J ) = m ( lim J → ∞ B J ) = lim J → ∞ m ( B J ) = 0 B_1=\cup_{j=1}^{\infty} E(\vert f_j-f\vert\ge\frac{1}{k})\\. \\ B_2=\cup_{j=2}^{\infty} E(\vert f_j-f\vert\ge\frac{1}{k})\\ \cdots \\ \text{有： }B_1\supset B_2\supset B_3\cdots \\ m\left(\cap_{J=1}^{\infty}\cup_{j=J}^{\infty} E(\vert f_j-f\vert\ge\frac{1}{k})\right)=m\left(\cap_{J=1}^{\infty} B_J\right)\\ =m(\lim_{J\to\infty}B_J)=\lim_{J\to\infty}m(B_J)=0 B1=∪j=1∞E(∣fj−f∣≥k1).B2=∪j=2∞E(∣fj−f∣≥k1)⋯有： B1⊃B2⊃B3⋯m(∩J=1∞∪j=J∞E(∣fj−f∣≥k1))=m(∩J=1∞BJ)=m(J→∞limBJ)=J→∞limm(BJ)=0
由上分析得知， B J B_J BJ 的测度极限为0，因此我们能在 N \mathbb N N 中，找到一组序列 ：
J 1 < J 2 ⋯ < J k < ⋯ J_1\lt J_2\cdots\lt J_k \lt\cdots J1<J2⋯<Jk<⋯
使：对任意 δ > 0 \delta \gt 0 δ>0，有
m ( B J 1 ) < δ 2 . m ( B J 2 ) < δ 2 2 ⋮ m ( B J k ) < δ 2 k m(B_{J_1})\lt \frac{\delta}{2}\\.\\ m(B_{J_2})\lt \frac{\delta}{2^2}\\ \vdots \\m(B_{J_k})\lt \frac{\delta}{2^k} m(BJ1)<2δ.m(BJ2)<22δ⋮m(BJk)<2kδ
于是将它们并起来，有：
∪ k = 1 ∞ B J k = ∪ k = 1 ∞ ∪ j = J k ∞ E ( ∣ f j − f ∣ ≥ 1 k ) . m ( ∪ k = 1 ∞ B J k ) ≤ ∑ k = 1 ∞ δ 2 k = δ \cup_{k=1}^{\infty} B_{J_k} = \cup_{k=1}^{\infty}\cup_{j=J_k}^{\infty}E(\vert f_j-f\vert\ge\frac{1}{k})\\. \\ m(\cup_{k=1}^{\infty} B_{J_k})\le \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\delta}{2^k} = \delta ∪k=1∞BJk=∪k=1∞∪j=Jk∞E(∣fj−f∣≥k1).m(∪k=1∞BJk)≤k=1∑∞2kδ=δ
令
E δ = E ∖ ∪ k = 1 ∞ B J k = E ∖ ∪ k = 1 ∞ ∪ j = J k ∞ E ( ∣ f j − f ∣ ≥ 1 k ) = ∩ k = 1 ∞ ∩ j = J k ∞ E ( ∣ f j − f ∣ < 1 k ) E_{\delta} = E\setminus\cup_{k=1}^{\infty} B_{J_k}=E\setminus\cup_{k=1}^{\infty}\cup_{j=J_k}^{\infty}E(\vert f_j-f\vert\ge\frac{1}{k})\\ =\cap_{k=1}^{\infty}\cap_{j=J_k}^{\infty}E(\vert f_j-f\vert\lt\frac{1}{k}) Eδ=E∖∪k=1∞BJk=E∖∪k=1∞∪j=Jk∞E(∣fj−f∣≥k1)=∩k=1∞∩j=Jk∞E(∣fj−f∣<k1)
因此，在 E δ E_{\delta} Eδ 上，对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ∀ϵ>0（ 比如： ϵ = 1 k \epsilon=\frac 1 k ϵ=k1），则必有 j > J k j\gt J_k j>Jk 使
∣ f j ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ \vert f_j(x)-f(x)\vert\lt \epsilon ∣fj(x)−f(x)∣<ϵ
而 m ( E ∖ E δ ) < δ m(E\setminus E_{\delta})\lt \delta m(E∖Eδ)<δ，满足几乎一致收敛定义要求。
几乎一致收敛定义：
设 E E E 是可测集，若 ∀ δ > 0 , ∃ E δ ⊂ E \forall \delta\gt 0,\exist E_{\delta}\subset E ∀δ>0,∃Eδ⊂E，使得 m ( E ∖ E δ ) < δ m(E\setminus E_{\delta})\lt \delta m(E∖Eδ)<δ，在 E δ E_{\delta} Eδ 上， f k ⇒ f f_k \Rightarrow f fk⇒f 一致收敛，则称 { f k ( x ) } \{f_k(x)\} {fk(x)} 在 E E E 上几乎一致收敛到 f f f，记作 f k → a . u . f f_k\xrightarrow{a.u.} f fka.u.f。
（证毕）
小结：
我在理解这段证明时，一直是不知所云，反复看了多次，仍然一头雾水。只好每天抄一到两次，当抄到第10次时，我总算是开窍了。此前的证明，关键在于：
m ( lim ‾ j → ∞ E ( ∣ f j − f ∣ ≥ 1 k ) ) = 0 m\left(\overline{\lim}_{j\to\infty}E(\vert f_j-f\vert\ge\frac{1}{k})\right)=0 m(limj→∞E(∣fj−f∣≥k1))=0
即 E ( ∣ f j − f ∣ ≥ 1 k ) E(\vert f_j-f\vert\ge\frac{1}{k}) E(∣fj−f∣≥k1) 的集合上界的测度为0，而这恰恰是“几乎处处收敛”题设条件所提供的结论。