什么是内积空间

 

什么是内积空间

线性空间中的向量的度量性质，如向量长度、向量之间的夹角等，可以通过定义内积导出，在学解析几何时，由内（点）积的定义知道，两个向量ɑ、ß的内（点）积，即

(ɑ,ß) =ɑ·ß·cos<ɑ,ß>，这是在几何空间中所给出的一种具体内（点）积定义，推广到抽象的线性空间，需要给出一种更抽象、更本质的内积定义。

定义 设V是数域P上的线性空间，V到P的一个代数运算（V×V－>P），记为 (ɑ,ß) 。如果(ɑ,ß)满足下列条件：

1)        (ɑ,ß) = 共轭(ß,ɑ)；

2)        (ɑ+ß,γ) = (ɑ,γ) + (ß,γ)；

3)        (kɑ,ß) = k(ɑ,ß)；

4)        (ɑ,ɑ)≥0，当且仅当ɑ=0时(ɑ,ɑ)=0，

其中k是数域P中的任意数，ɑ、ß、γ是V中的任意元素，则称(ɑ,ß)为ɑ与ß的内积，定义了内积的线性空间V称为内积空间。特别地，称实数域R上的内积空间V为Euclid空间（欧式空间）；称复数域C上的内积空间V为酉空间。

这是线性空间上内积的抽象定义，落实到具体线性空间，在其上可以有不同的内积定义，只要符合内积定义的这四个条件，就是内积。比如，线性空间R^m×n，对矩阵A,B∈R^m×n，定义内积（A,B）= tr(B^TA)，再比如，线性空间C[a,b]，对ƒ(x)、ɡ(x)∈C[a,b]，定义内积

(ƒ, ɡ) = ∫_a^b ƒ(x)ɡ(x)dx 。

有了内积，线性空间就有了度量的工具，通过内积导出向量的长度||ɑ|| = (ɑ,ɑ)^1/2,长度为1的向量称为单位向量，如果ɑ≠0，则 ɑ/||ɑ|| 是单位向量；向量ɑ、ß之间的距离

d(ɑ,ß) = ||ɑ-ß||；向量ɑ、ß之间的夹角<ɑ,ß> = arcos (ɑ,ß)/( ||ɑ||·||ß ||) (0≤<ɑ,ß>≤π)

,当<ɑ,ß>=π/2 时，即ɑ、ß正交（垂直）。有了正交的概念，就可以对线性空间的一组“基”进行标准正交化，使得这组“基”成为一组标准正交基，即向量之间互相正交，且向量长度为1，具体方法通过Gram-Schmidt标准正交化方法；有了向量之间的夹角以及正交的概念，还可以讨论线性空间的子空间的正交补、正交投影，向量的最佳逼近等问题。

这里，有一个问题值得思考：不同的线性空间，只要它们维数相同，它们之间就是同构的，都同构于P ⁿ；由此，我们联想到，同一线性空间上不同的内积定义，导出不同的内积空间，两个向量在一种内积定义下是正交的，那在另一种内积定义下是否也正交呢，不同的内积定义，他们之间又有怎样的关系呢？是等价的？还是什么其他关系或者根本就没关系？（请教过老师，他说：只能说目前还没有相关的结论，不能轻易下结论。老师很严谨J）