【算法学习】网络流模型与套路

网络流模型

最大权闭合子图

定义：图中每个点有点权，或正或负。在选择一个点后，必须选择某些后继点。一般情况求最大的收益。

求解：对于点权为正的点（一般为收益），源点$S$向正权点连边，容量为点的权值。对于点权为负的点（一般为花费），向汇点$T$连边，容量为负权绝对值。对于要选择后继关系的点，前驱点向后继点连边，容量为$inf$。跑最大流，求出最小割。最终答案 = 正权点之和 - 最小割。

解的输出：看跑完最大流后的$visit$数组，若为$True$则表明选择，反之表明不选择。

二分图最大匹配

定义：给出二分图，边代表可能的匹配关系。求出最大的匹配数目。

求解：建立源点$S$和汇点$T$，源点$S$向左点集连边，容量为1，右集合向汇点$T$连边，容量为1。若左集合中某点$v_l$与右集合某点$v_r$有连边，则$v_l$向$v_r$连边，容量为1。跑最大流，最大流即为最大匹配数目。

解的输出：根据跑完最大流后的结果。依次看左集合每个点向右集合边的流量，若为1，表明选中这条边对应的匹配关机，反之不选择。

二分图的最小点覆盖

二分图的最小点覆盖有两种，一种点权全部为1（朴素情况），一种是各个点带不同点权（推广情况）。

朴素二分图最小点覆盖

定义：给出一张二分图，选出最小的点集$V$，使得每一条边至少有一个顶点在$V$中。

求解：二分图的最小点覆盖数目 = 二分图的最大匹配数目

二分图最小点权覆盖

定义：给出一张二分图，选出点集$V$，使得每一条边至少有一个顶点在$V$中，并且点集权值${\sum }_{i=1}^{|V|}{v}_i$最小。

求解：建立源点$S$和汇点$T$，源点$S$向左点集每一点连边，容量为点权值，右点集每一点向汇点$T$连边，容量为点权值。对于二分图内部的边，如$v_l$向$v_r$的边，连边，并且容量为$inf$（使得此边不在最小割中）。跑最大流，求出最小割，即为最下点权覆盖权值。

二分图的最大独立集

二分图的最大独立集分两种，一种点权全部为1（朴素情况），一种是各个点带不同点权（推广情况）。

朴素二分图的最大独立集

定义：给出一张二分图，选出最大的点集$V$，使得点集$V$中没有任意两点有边相连。

求解：二分图的最大独立集 = 顶点数 - 最小点覆盖

二分图的最大点权独立集

定义：给出一张二分图，选出点集$V$，使得点集$V$中没有任意两点有边相连，并且${\sum }_{i=1}^{|V|}{v}_i$最大。

求解：最大点权独立集权值 = 总点权 - 最小点权覆盖权值

有向图最小路径覆盖

有向图最小路径覆盖有两种，分别为最小不相交路径覆盖和最小可相交路径覆盖。

最小不相交路径覆盖

定义：给出$DAG$，求出最小的有向路径条数，记为$P=\{P_1,P_2\dots P_n\}$，若$DAG$中每个顶点都恰好在$P$的一条道路上，那么$P$则为此$DAG$的最小路径覆盖。注意单个点也可以是一条覆盖路径。

求解：最小路径覆盖数目 = 顶点数 - 最大匹配数目
将每个点$v_i$拆分为$v_i、v_i^{\prime }$。令$v_i$为二分图左集合，$v_i^{\prime }$为二分图右集合。源点$S$连左集合$v_i$，容量为1，汇点连右集合$v_i^{\prime }$，容量为1。若原图有$v_i$到$v_j$的有向边，则连边$v_i$到$v_j^{\prime }$，容量为1。跑最大流，得到最大匹配数目，进而得到最小路径覆盖数目。

解的输出：输出解需要理解左右集合的含义。若右集合中的点$v_i^{\prime }$在最大流中有边指向，表示最小路径覆盖中有路径以$v_i$结尾；又因为$DAG$中每个点都在路径覆盖中，所以右集合中没有被指向的顶点一定为最小路径覆盖的起始点。据此可以找到所有覆盖路径的起点。
找到起点后，依次枚举每一个点$v_i^{\prime }$，找到其左集合对应顶点$v_i$，根据最大流中的关系，找到有流量的右集合中的点$v_j^{\prime }$，再转到$v_j$根据流量关系寻找顶点，知道左集合不存在有流量的出边，表示找完一条覆盖路径。

如图，从B集合的1找到3，再从3找到4，在从4找到6，因为A中的6不存在有流量的边指出到B集合，故1-3-4-6是其中一条覆盖路径。

最小相交路径覆盖

待填坑