第50届IMO预选题

已知正实数 $a、b、c$ 满足 $ab+bc+ca\le 3abc$. 证明:

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3\le \sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}).$$

证明
\qquad 由幂平均不等式得
\qquad $\sqrt{2}\cdot \sqrt{a+b}=2\sqrt{\frac{ab}{a+b}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}(2+\frac{a^2+b^2}{ab})}$
\qquad \qquad \quad \qquad $\ge 2\sqrt{\frac{ab}{a+b}}\cdot \frac{1}{2}(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab}})=\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}.$

\qquad 同理，$\sqrt{2}\cdot \sqrt{b+c}\ge \sqrt{\frac{2bc}{b+c}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}},\sqrt{2}\cdot \sqrt{c+a}\ge \sqrt{\frac{2ca}{c+a}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{c+a}}$

\qquad 再由算术平均和调和平均不等式得
\qquad $\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{2bc}{b+c}}+\sqrt{\frac{2ca}{c+a}}\ge 3\sqrt{\frac{3}{(\sqrt{\frac{a+b}{2ab}}{)}^2+(\sqrt{\frac{b+c}{2bc}}{)}^2+(\sqrt{\frac{c+a}{2ca}}{)}^2}}=3\sqrt{\frac{3abc}{ab+bc+ca}}\ge 3.$

\qquad 于是原不等式成立.