2018南京航天航空大学820自动控制原理第九题

1.系统$M(s)$的状态空间方程：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{\mathbf{x}}}_1=-4{\dot{\mathbf{x}}}_1+\mathbf{u}\\ \mathbf{y}={\dot{\mathbf{x}}}_1\end{array}$$
系统$N(s)$的状态空间方程：
$$\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}{\dot{\mathbf{x}}}_2\\ {\dot{\mathbf{x}}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_2\\ {\mathbf{x}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\mathbf{u}\\ \mathbf{y}=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\end{array}\right]\mathbf{x}\end{array}$$
两个子系统串联，存在零极点对消，系统不能控。系统串联后的状态空间方程
$$\{\begin{array}{l}\dot{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{ccc}-4& -2& 4\\ 0& -3& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]\mathbf{x}+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]\mathbf{u}\\ \mathbf{y}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]\mathbf{x}\end{array}$$
2.系统的单位阶跃响应近似为一个调节时间$t_s$为$4.75s$的临界阻尼系统，即系统存在两个相同的极点，可得
$$t_s=\frac{4}{\xi {\omega }_n}=4.75s$$
解得
$$s_{1,2}=0.8421$$
由1可知，系统状态$x_1$不能控，设状态反馈后系统的特征方程为
$$\begin{array}{rl}{\Delta }^{‘}& =(s+0.8421{)}^2\\ & =s^2+1.6842s+0.70913241\\ & =0\end{array}$$
设状态反馈矩阵为$\mathbf{K}=\left[\begin{array}{cc}{K}_1& K_2\end{array}\right]$，对应系统的特征多项式为
$$\begin{array}{rl}\Delta & =det[s\mathbf{I}-(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K})]\\ & =(s+3+K_1)(s+2+K_2)-K_1{K}_2\\ & =s^2+(5+K_1+K_2)s+6+2K_1+3K_2\\ & =0\end{array}$$
对比两式可解得
$$\{\begin{array}{l}{K}_1=-4.6565321\\ K_2=1.34073241\end{array}$$
3.系统的能观性矩阵为
$${\mathbf{Q}}_o=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -4& -2& 4\\ 16& 14& -24\end{array}\right]$$
$rank{\mathbf{Q}}_o=3$，系统完全能观，可以任意配置极点调节状态观测器的动态性能。$rank\mathbf{C}=1$，可以设计$n-m=2$维观测器，将极点配置到$s_{1,2}=0.8421$来实现状态反馈控制。