P1002 过河卒

题目描述

棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标BB点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上C点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示，A点(0, 0)、B点(n, m)(n, m为不超过20的整数)，同样马的位置坐标是需要给出的。

import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner in = new Scanner(System.in); 
		int x = in.nextInt(),y = in.nextInt(),x1 = in.nextInt(),y1 = in.nextInt();
		long[][] a = new long[25][25];
		int[][] g = new int[25][25];
		g[x1][y1] = 1;
		//记录 这8 个if 是将所有被马控制 点标记为1
		if (x1 >1 && y1 > 0) {
			g[x1-2][y1-1] = 1;
		}
		if (x1 >0  && y1 > 1) {
			g[x1-1][y1-2] = 1;
		}
		if (x1 > 1 && y1 < 20) {
			g[x1-2][y1+1]  =1;
		}
		if (x1 > 0 && y1 < 19) {
			g[x1-1][y1+2] = 1;
		}
		if (x1 < 20 && y1 > 1) {
			g[x1+1][y1-2] = 1;
		}
		if (x1 < 19 && y1 > 0) {
			g[x1+2][y1-1] = 1;
		}
		if (x1 < 20 && y1 < 19) {
			g[x1+1][y1+2] = 1;
		}
		if (x1 < 19 && y1 < 20) {
			g[x1+2][y1+1] = 1;
		}
		for (int i = 0; i <= x; i++) {
			for (int j = 0; j <= y; j++) {
				if (g[i][j] == 0) { // 二维表的初始值都为0，如果控制点的位置为1，那么这个格子就为0 ，也就是继续执行。这个格子后面的格子的最后一步只能向右或下到达，这个格子被占了的话，那么从这个格子到后面格子的路径数位0，只能看右边格子的上面格子数的路径。
					if (i == 0 && j == 0) {
						a[0][0] = 1;
					} else if (i == 0 && j > 0) {
						a[0][j] = a[0][j - 1];
					} else if (j == 0 && i > 0) {
						a[i][0] = a[i-1][0];
					} else {
						a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1]
					}
				}
			}
		}
		System.out.println(a[x][y]);

	}
}

C语言的也差不多，就不写了，这也是看了其他大佬的。
注意一点是 这个走格子和走点是一样的，

以输入样例 6×6，马在 (3,3) 为例，左至右分别为 x，上至下分别为 y。

下面顺便对样例进行一下解释：
其中 PP 点为马的控制点。我们不妨把马的控制点 g[x][y]g[x][y] 标记为 1。

样例共有 6 条路径

大家仔细观察一下，马在第一排 (y=0)(y=0) 的走法有三种：

第一排走到底，再走到目标点；
第一排走到第四个 0 的位置，这里大家可以看出有一种路径；
第一排走到倒数第二个 0 的位置，拐个弯到达目标位置；
这里总共 3 种走法； 在第一列 (x=0)(x=0) 的走法有两种，分别是：

第一列走到倒数第二个 0 的位置，拐个弯到达目标位置；
第一列走到第四个 0 的位置，大家可以看出有一种路径；
第一列走到底，再走到目标点；
这里总共有 3 种走法；加上前面的3种，共有6种！

看到这里，大家应该明白了题意，现在我们看输入输出：

输入前两个数，为棋盘的长宽；
输入后两个数，为马的坐标$（x,y)$；

这里告诉大家一个公式（证明度娘）

在平面内，从点 (0,0)(0,0) 到点 (x,y)(x,y) 的路径数f[x][y]=f[x-1][y]+f[x][y-1]f[x][y]=f[x−1][y]+f[x][y−1]
现在解释一下：其实就是一个简单的 DPDP 方程（或者说递推式），到达一个点 (x,y)(x,y)，可能从 (x-1,y)(x−1,y) 或者 (x,y-1)(x,y−1) 走来，因此方案数为到 (x-1,y)(x−1,y) 和到 (x,y-1)(x,y−1) 方案的总和。

然后就可以愉快的开始搜索了，思路有两种：

dfs 深搜+回溯（即递归搜索）
递推（或者说是 DPDP）
不论是递推或是递归，都要确定边界：

根据上述公式，数组不能越界对吧？

递推：

若 x=0x=0，则 f[x][y]=f[0][y-1]f[x][y]=f[0][y−1]（自己画图思考一下）
若 y=0y=0，则 f[x][y]=f[x-1][0]f[x][y]=f[x−1][0]
当 g[x][y]=1g[x][y]=1 的时候，肯定不能搜索啦（f[x][y]=0f[x][y]=0 )
最后，写个 else （上述公式） 就好了

上面的方法是对于如果只是从某一个点到另一个点的路径数的总和，没有什么不能经过的点。

这里还要提个醒：这题不需要高精，long 就可以了！（讲解部分为大佬的，确实很好了）