2020 Multi-University Training Contest 6 A Very Easy Graph Problem

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• 题目：给定n个点，m条边，每个点的权值为0 or 1，求所有权值为1的点到权值为0的点的最短路的和，第i条边权值的为2^i。
• 思路：首先，根据给定的边权值的条件可以发现：后建的边一定是大于之前建的边的权值和（等比数列求和），所以只要建成一个树即可（并查集维护），这样就处理掉了最短路的问题，建完树之后，我们不妨把节点1当作根节点，然后跑一遍dfs遍历一遍树，统计每个节点的子树的1和0的个数，最后统计每条边要被经过的次数（贡献值），这个次数计算方式，就是当前这条边的子树的0的个数乘上不在其子树上的节点的1的个数加上这条边的子树的1的个数乘不在其子树上的节点的0的个数（代码有注释详解），就是最后的答案。

#include 
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#include 
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f
#define ll long long
const ll mod = 1000000007;
const int N = 1e5+10;
int n, m, zero, one, u, v;
ll ans;
ll dp[N][2];
int s[N], f[N];
vector<pair<int,ll> >G[N];

int ffind(int x){return f[x]==x?x:(f[x]=ffind(f[x]));}

void init()
{
    // 初始化
    ans = zero = one = 0;
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = dp[i][1] = 0;  // dp数组存储每个节点子树的1以及0的个数
        f[i] = i;  // 并查集数组
        G[i].clear();  // 清空图
    } 
}

void dfs(int u, int f)
{
    dp[u][s[u]]++; // 自己节点的0 1个数++
    for(int i = 0; i < (int)G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i].first;
        if(v==f) continue;  // 非父节点
        dfs(v,u);  // 继续搜索子树
        dp[u][0] += dp[v][0];  // 加上子树的0的个数
        dp[u][1] += dp[v][1];  // 加上子树的1的个数
    }
    for(int i = 0; i < (int)G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i].first;
        if(v==f) continue;
        // 贡献值计算
        // dp[v][0] dp[v][1] 该边的子树的0 1个数
        // one-dp[v][1] zero-dp[v][0] 总个数减去子树的0 1个数就是其他节点的0 1个数
        // 最后乘上边权值即为贡献值
        ans = (ans+dp[v][0]*(one-dp[v][1])%mod*G[u][i].second)%mod;
        ans = (ans+dp[v][1]*(zero-dp[v][0])%mod*G[u][i].second)%mod;
    }
}

int main()
{   
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        scanf("%d %d", &n, &m);
        init();
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &s[i]);
        // 统计所有的1以及0的个数
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            if(s[i]) one++;
            if(!s[i]) zero++;
        }
        ll val = 1;
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            scanf("%d %d", &u, &v);
            val = val*2%mod;    // 边权值
            // 并查集维护生成树
            int fu = ffind(u);
            int fv = ffind(v);
            if(fu==fv) continue;
            f[fu] = fv;
            // 建边
            G[u].push_back(make_pair(v,val));
            G[v].push_back(make_pair(u,val));
        }
        dfs(1,-1);
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}