状态压缩DP的TSP问题

1.问题定义

      TSP问题（旅行商问题）是指旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市，并要求所走的路程最短。

      假设现在有四个城市，0,1,2,3，他们之间的代价如图一，可以存成二维表的形式

           

        现在要从城市0出发，最后又回到0，期间1，2，3都必须并且只能经过一次，使代价最小。

2.动态规划可行性

        设s, s1, s2, …, sp, s是从s出发的一条路径长度最短的简单回路，假设从s到下一个城市s1已经求出，则问题转化为求从s1到s的最短路径，显然s1, s2, …, sp, s一定构成一条从s1到s的最短路径，所以TSP问题是构成最优子结构性质的，用动态规划来求解也是合理的。

3.推导动态规划方程

        假设从顶点s出发，令d(i, V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。

        推导：(分情况来讨论)

        ①当V’为空集，那么d(i, V’)，表示从i不经过任何点就回到s了，如上图的 城市3->城市0(0为起点城市)。此时d(i, V’)=Cis(就是 城市i 到 城市s 的距离)、

        ②如果V’不为空，那么就是对子问题的最优求解。你必须在V’这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。

           d(i, V’)=min{Cik +  d(k, V’-{k})}

           注：Cik表示你选择的城市和城市i的距离，d(k, V’-{k})是一个子问题。

        综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：

         

4.实例分析

     现在对问题定义中的例子来说明TSP的求解过程。(假设出发城市是 0城市)

     

    ①我们要求的最终结果是d(0,{1,2,3}),它表示，从城市0开始，经过{1,2,3}之中的城市并且只有一次，求出最短路径.

    ②d(0,{1,2,3})是不能一下子求出来的，那么他的值是怎么得出的呢？看上图的第二层，第二层表明了d(0,{1,2,3})所需依赖的值。那么得出：

       d(0,{1,2,3})=min  {

                                    C01+d(1,{2,3})

                                    C02+d{2,{1,3}}

                                    C03+d{3,{1,2}}

                                  }

     ③d(1,{2,3})，d(2,{1,3})，d(3,{1,2})同样也不是一步就能求出来的，它们的解一样需要有依赖，就比如说d(1,{2,3})

       d(1,{2,3})=min{

                              C12+d(2,{3})                             

                              C13+d(3,{2})

                              }

       d(2,{1,3})，d(3,{1,2})同样需要这么求。

    ④按照上面的思路，只有最后一层的，当当V’为空集时，Cis的值才可以求，它的值是直接从

这张表里求得的。

5.编程思路

        将d(i, V’)转换成二维表，d[i][j]

        在程序中模拟填表的过程，主要要考虑到j这个参数的表示，它要代表一个集合，可以用二维数组来表示。

6.代码实现

记忆化搜索DP：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define M 19
#define INF 0x3f3f3f3f
int n;
int mp[M][M];  //注意mp是从0行开始的
int dp[1<<11][M];

/*将S看作一个长度为n的bit流，
第几号节点访问过就把S的第几号节点置为1，其他都是0，
这样就可以将状态压缩成了一个数字来表示，并且有一一对应性。*/
int slove(int s,int v) //记忆化搜索
{
    if(dp[s][v] >= 0) return dp[s][v]; //已经有结果
    if(s == (1<> u) & 1)) //判断是否访问过，如果u这一位是0，即没有访问过
        ret = min(ret,slove(s|(1<

递推DP：

#include
#include
using namespace std;
int n,INF=1e9;
int dp[1<<10001][10001],d[10001][10001];
//注意d是从0开始的
int main()             
{
	cin>>n;
	for(int i=0;i>d[i][j];
	
	for(int S=0;S<(1<=0;S--){
		for(int v=0;v>u&1)){//取出整数S在二进制表示下的第u位   
					dp[S][v]=min(dp[S][v],dp[S|1<

7.经典例题

POJ 3311 Hie with the Pie 状态压缩DP TSP问题（两种方法）

HDU 5418 Victor and World 状压DP的TSP问题

hdu3001 Traveling (三进制状态压缩dp)