【总结】2020暑假集训--二叉堆

一、概念

二叉堆是一种数组对象，它可以被视为一棵完全二叉树。树中每个结点与数组中存放该结点中值的那个元素相对应，如图。

二、性质

设数组$A$的长度为$len$，二叉树的结点个数为$size$，$size\le len$，则$A[i]$存储二叉树中编号为$i$的结点值($1\le i\le size$)，而$A[size]$以后的元素并不属于相应的堆，树的根为$A[1]$，并且利用完全二叉树的性质，我们很容易求第$i$个结点的父结点、左孩子、右孩子的下标，分别是$i/2$、$2i$、$2i+1$。(自己看图理解)

大根堆具有这样一个性质：对除根以外的每个结点i，A[fa(i)]≥A[i]。即除根结点以外，所有结点的值都不得超过其父结点的值，这样就推出，堆中最大元素存放在根结点中，且每一结点的子树中的结点值都小于等于该结点的值，这种二叉堆又称为“大根堆”；
反之，称为“小根堆”。

三、堆的操作

插入

假如这是原始的堆

现在我们要插入一个13的节点，首先将他接在二叉树的后面，即7的右儿子
可以发现他与他的父节点不满足大根堆的关系，所以交换他们

发现现在它和它的父节点仍然满足大根堆的性质，所以插入完成
经过验证，新二叉堆依然满足性质，证明插入没问题

转化为文字语言是：

1. 在堆尾加入一个元素，并把这个结点置为当前结点。
2. 比较当前结点和它父结点的大小
   如果如果当前结点大于父结点，则交换它们的值，并把父结点置为当前结点，继续转2。
   如果当前结点小于等于父结点，则转3。
3. 结束。

代码实现

接下来是代码实现：

1.在堆尾加入一个元素，并把这个结点置为当前结点。

heap[++len]=a;

其中len为堆的元素个数

2. 比较当前结点和它父结点的大小
   如果如果当前结点大于父结点，则交换它们的值，并把父结点置为当前结点，继续转2。
   如果当前结点小于等于父结点，则转3。

while(now>1){
	int fa=now>>1;
	if(heap[fa]<heap[now]){
		swap(heap[fa],heap[now]);
		now=fa;
	}
	else{
		break;
	}
}

完整代码：

void Put(int a){ //加入节点 
	heap[++len]=a;
	int now=len;
	while(now>1){
		int fa=now>>1;
		if(heap[fa]<heap[now]){ 
			swap(heap[fa],heap[now]);
			now=fa;
		}
		else{
			break;
		}
	}
}

这是大根堆的实现，小根堆就请大家自己通过理解改一下了~

删除

二叉堆主要支持的是删除根节点

依然是来几张图理解一下

这是原始的堆

现在我们删去堆顶，也就是16

但是这样就变成两个堆了，怎么办呢?我们把最后一个节点，也就是13置为堆顶

现在让13像插入时的那样，只是向下变为向上，一一比较儿子节点两(或一)个儿子中值较大的与当前交换

再看看这个堆，是不是就正确了呀

(现在说的和代码都为小根堆实现(毕竟插入用的大根堆，本着公平的原则，用用小根堆))
1、根据需要取出堆中根结点的值。
2、把堆的最后一个结点(heap_size)放到根的位置上，把根覆盖掉， 堆长度减一。

heap[1]=heap[len];
len--;

3、把根结点置为当前父结点，即当前操作结点now。

int now=1;

4、如果now无儿子(now>heap_size/2)，则转6；否则，把now的两(或一)个儿子中值较小的那一个置为当前子结点son。

while(now<=len/2){
	int son;
	if(now*2<len && heap[now*2]>heap[now*2+1]){
		son=now*2+1;
	}
	else{
		son=now*2;
	}

5、比较now与son的值，如果now的值小于等于son，转6；否则交换 两个结点的值，把now指向son，转4。

	if(heap[now]<heap[son]){
		break;
	}
	else{
		swap(heap[now],heap[son]);
		now=son;
	}
}

6、结束。

代码实现：

void Get(){
	heap[1]=heap[len];
	len--;
	int now=1;
	while(now<=len/2){
		int son;
		if(now*2<len && heap[now*2]>heap[now*2+1]){
			son=now*2+1;
		}
		else{
			son=now*2;
		}
		if(heap[now]<heap[son]){
			break;
		}
		else{
			swap(heap[now],heap[son]);
			now=son;
		}
	}
} 

四、总结

堆是一种时间复杂度为$log$级的数据结构，主要用来维护一个序列的最值以及删除最值、插入元素并维护最值，堆在NOIP竞赛中应用广泛，常用与快速查询最大(最小值)，优化各种算法(如:最短路算法、DP算法)，是一种效率高，应用广泛的数据结构。