矩阵加速线性递推公式

关键词：矩阵加速线性递推公式
用1*2的矩形填充2*n的矩形，共有多少种填充方式？
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]—————Fibonacci数列
初始值：dp[1]=1,dp[2]=2,定义dp[0]=1,dp[-1]=0;
n很大，需要用矩阵加速运算！
观察下列式子：

其中f−1=0,f0=1
所以只需要计算矩阵的n次幂即可！
矩阵求幂可以用快速幂加速！

拓展：
1.第二列的两个1改成a和b可以快速求fn=a∗fn−2+b∗fn−1的通项公式
2.同理，可构造k维矩阵快速求出fn=∑n−1i=n−kai∗fi的通项公式，矩阵的前k-1列每列仅保留一个1，最后一列为系数列填充ai
复杂度：O(k^3*log(n))

#include
#include
#include
#include
#define mem(a,b) memset(a,sizeof(a),b)
#define mod 19999997
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn = 3;

struct Matrax{
    ll m[maxn][maxn];
};
Matrax per,base,ans,xi;//单位矩阵、基矩阵、答案矩阵/系数矩阵
int n;


Matrax multi(Matrax a,Matrax b,int x,int y,int z){//(Ma*Mb)%mod
    Matrax c;
    for(int i=0;ifor(int j=0;j0;
        for(int k=0;kreturn c;
}

Matrax power(Matrax a,int k,int x){//(Ma^k)%mod
    Matrax ans=per,p=a;
    while(k){
        if(k&1){
            ans=multi(ans,p,x,x,x);
            k--;
        }
        else{
            k/=2;
            p=multi(p,p,x,x,x);
        }
    }
    return ans;
}

void init(){//定义单位矩阵和基矩阵
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            if(i==j) per.m[i][j]=1;
            else per.m[i][j]=0;
    for(int i=0;i<2;i++)
    for(int j=0;j<2;j++){
        if(i==0&&j==0) base.m[i][j]=0;
        else base.m[i][j]=1;
    }
    memset(xi.m,0,sizeof(xi.m));
    xi.m[0][0]=0,xi.m[0][1]=1;
}

int main(){
    //freopen("a.txt","r",stdin);
    init();
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        Matrax tmp=power(base,n,2);
        ans=multi(xi,tmp,1,2,2);
        printf("%lld\n",ans.m[0][1]);
    }
    return 0;
}