导弹拦截系统（贪心 / Dilworth定理+最长上升子序列）

某国为了防御敌国的导弹袭击,发展出一种导弹拦截系统.但是这种导弹拦截系统有一个缺陷:虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度,但是以后每一发炮弹都不能超过前一发的高度.某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭.由于该系统还在试用阶段,所以只有一套系统,因此有可能不能拦截所有的导弹.
怎么办呢?多搞几套系统呗!你说说倒蛮容易,成本呢?成本是个大问题啊.所以俺就到这里来求救了,请帮助计算一下最少需要多少套拦截系统.

Input
输入若干组数据.每组数据包括:导弹总个数(正整数),导弹依此飞来的高度(雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数,用空格分隔)

Output
对应每组数据输出拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统.

Sample Input

8 389 207 155 300 299 170 158 65

Sample Output
2
解法1：贪心
…复杂度大概达到了o(n^2)，n应该是1000。具体思路就是遍历所有导弹选择所有系统中大于等于它的最小的一个进行拦截（贪心思想），都比它小的话就再加一个系统。

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解法2：
Dilworth定理：对于一个偏序集，最少链划分等于最长反链长度。
Dilworth定理的对偶定理：对于一个偏序集，其最少反链划分数等于其最长链的长度。
也就是说把一个数列划分成最少的最长不升子序列的数目就等于这个数列的最长上升子序列的长度。

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贪心做法：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define N 10005
int a[N];
int main()
{
	int n;
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		vector<int> num;
		for(int i=0;i<n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		num.push_back(a[0]);
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			int j;
			for(j=0;j<num.size();j++)
				if(a[i]<=num[j])
				{
					num[j]=a[i];
					break;
				}
			if(j==num.size())
				num.push_back(a[i]);
		}
		cout<<num.size()<<endl;
	}
	return 0;
 }

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最长上升子序列（o(n^2)做法）:

#include
 #include
 using namespace std;
 #define N 10005
 int dp[N];
 int a[N];
 int main()
 {
 	int n;
 	while(~scanf("%d",&n))
 	{
 		int ans=0;
 		for(int i=1;i<=n;i++)
 			scanf("%d",&a[i]);
 		for(int i=1;i<=n;i++)
 			dp[i]=1;
 		for(int i=1;i<=n;i++)
 			for(int j=1;j<=i;j++)
 				if(a[i]>a[j])
 					dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
 		for(int i=1;i<=n;i++)
 			ans=max(ans,dp[i]);
 		cout<<ans<<endl;
	 }
 	return 0;
 }

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最长上升子序列（o(n*log(n))做法）:

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1005;
int q[N],a[N];
int main()
{
	int n;
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		for(int i=0;i<n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		int k=0;
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			if(!k||a[i]>q[k-1])
			{
				q[k++]=a[i];continue;
			}
			int x=lower_bound(q,q+k,a[i])-q;
			q[x]=a[i];
		}
		cout<<k<<endl;
	}
	return 0;
}