SDU程序设计思维与实践 week4 TT 的神秘礼物(二分答案）

题目描述

TT 是一位重度爱猫人士，每日沉溺于 B 站上的猫咪频道。
有一天，TT 的好友 ZJM 决定交给 TT 一个难题，如果 TT 能够解决这个难题，ZJM 就会买一只可爱猫咪送给 TT。
任务内容是，给定一个 N 个数的数组 cat[i]，并用这个数组生成一个新数组 ans[i]。新数组定义为对于任意的 i, j 且 i != j，均有 ans[] = abs(cat[i] - cat[j])，1 <= i < j <= N。试求出这个新数组的中位数，中位数即为排序之后 (len+1)/2 位置对应的数字，’/’ 为下取整。
TT 非常想得到那只可爱的猫咪，你能帮帮他吗？

输入描述

多组输入，每次输入一个 N，表示有 N 个数，之后输入一个长度为 N 的序列 cat， cat[i] <= 1e9 , 3 <= n <= 1e5

输出描述

输出新数组 ans 的中位数

输入样例

4
1 3 2 4
3
1 10 2

输出样例

1
8

思路分析

1、通过暴力枚举计算数列ans[]的时间复杂度为O($N^2$)，无法接受
2、本题通过二分答案解决。

• 将cat[]数组进行从小到达排序以去绝对值号。
• 设数列ans[]的中位数为P
• 利用二分法求解P。设P的左界为0，右界为cat.back()-cat.front()。
• 对每一个Pmid，求解Pmid在数组ans中的位次
• 如果位次比中位数所在的位次小，那么pl=pmid+1；如果位次大于等于中位数的位次，那么pr=pmid-1。此步骤的目的是为了保证最后的答案是由原cat[]数组中的两个元素做差产生的。最后的pmid将会是位次等于中位数位次的最小的值。

3、计算Pmid在ans数组中位次的方法：

• 计算满足条件$X_i-X_j\le P（i<j,X_i,X_j\in cat[]）$ 的（i，j)元素对的个数
• 移项得$X_j\le P+X_i$.循环枚举i，每步计算满足条件的j的个数。
• 下标j的计算方法：在cat数组中二分查找。记录下$X_j\le P+X_i$时$X_j$在cat数组中最靠右的（最大的）位置pos。那么cat数组中从i+1到pos位置的所有元素都是符合题意的，即j有pos-i个可行的取值。
• 将遍历过程中的满足条件的j的个数加起来即得到当前P在ans数组中的位次。

4、输入数据请用scanf，用cin会超时

代码

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n;
vector<int> cat;

//找到<=x的最后一个位置 
int findr(int x){
	int l=0,r=cat.size()-1,ans=-1;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)/2;
		if(cat[mid]<=x){
			ans=mid;
			l=mid+1;
		}
		else r=mid-1; 
	} 
	return ans;
}
int main(){
	while(scanf("%d",&n)!=EOF){
		cat.clear();
		for(int i=0;i<n;i++){
			int temp=0;scanf("%d",&temp);
			cat.push_back(temp);
		}	
		//从小到大排列去绝对值 
		sort(cat.begin(),cat.end());
		//n个元素，数列x中元素的个数为n(n-1)/2 ，位数排第【(n(n-1)+2)/4】 
		int targetrank=(n*(n-1)+2)/4;
	//	cout<<"目标名次是"<
		//p的最大值、最小值 
		int pr=cat.back()-cat.front(),pl=0,ans=-1;	
		while(pl<=pr){
			int pmid=(pl+pr)/2,ppos=0;
			//固定下标i然后计算满足条件的下标j的个数(即为p的名次） 
			for(int i=0;i<cat.size();i++){
				int b=cat[i]+pmid;
				int pos=findr(b);
				if(pos!=-1){
					ppos+=pos-i;
				}
			}		
			if(ppos>=targetrank){
				ans=pmid;
				pr=pmid-1;
			}			
			else {
				pl=pmid+1;
			}	
	   	}
		   cout<<ans<<endl;	
	}
		
}