洛谷 【动态规划3】区间与环形动态规划

题单链接

P1220 关路灯

• 参考《算法竞赛入门经典$(SecondEdition)P293UVa1336$》
• 在任意时刻，已关的灯一定是一个连续的区间
• $f[i][j][k]$表示关上了灯$[i,j]$，且当前位置在$k$,$k=0$表示在左端点i，$k=1$表示在右端点j
• $f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(pos[i+1]-pos[i])\ast (sum[i]+sum[n]-sum[j]),f[i+1][j][1]+(a[j]-a[i])\ast (sum[i]+sum[n]-sum[j]));$
• $f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+(pos[j]-pos[i])\ast (sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1]),f[i][j-1][1]+(a[j]-a[j-1])\ast (sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1]));$

#include
#include
#include
using namespace std;
int n,c,f[60][60][2],sum[60],inf=1e7;
struct lamp{
	int p,c;
}s[60];
int main(){
	cin>>n>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>s[i].p>>s[i].c;
		sum[i]=sum[i-1]+s[i].c;		
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			f[i][j][0]=f[i][j][1]=inf;
		}
	}	
	f[c][c][0]=f[c][c][1]=0; 
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
			int j=i+len-1;
			f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(s[i+1].p-s[i].p)*(sum[n]-(sum[j]-sum[i])),
						   f[i+1][j][1]+(s[j].p-s[i].p)*(sum[n]-(sum[j]-sum[i])));
			f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+(s[j].p-s[i].p)*(sum[n]-(sum[j-1]-sum[i-1])),
						   f[i][j-1][1]+(s[j].p-s[j-1].p)*(sum[n]-(sum[j-1]-sum[i-1])));
		}
	}
	cout<<min(f[1][n][0],f[1][n][1])<<endl;
} 

P3205 [HNOI2010]合唱队

• $f[i][j][k]$表示区间$[i,j]$的方案数，当$k=0$时表示从左边加入，当$k=1$时表示从右边加入。
• $f[i][j][0]+=f[i+1][j][0],h[i]<h[i+1]$
• $f[i][j][0]+=f[i+1][j][1],h[i]<h[j]$
• $f[i][j][1]+=f[i][j-1][0],h[j]>h[i]$
• $f[i][j][1]+=f[i][j-1][1],h[j]>h[j-1]$
• 只有一个人时方案只有一种，默认从左边加入，初始化时$f[i][i][0]=1$

#include
#include
using namespace std;
int n,h[1010],mod=19650827,f[1010][1010][2];
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>h[i];
		f[i][i][0]=1;
	}
	for(int len=1;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
			int j=i+len-1;
			if(h[i]<h[i+1]) f[i][j][0]+=f[i+1][j][0];
			if(h[i]<h[j]) f[i][j][0]+=f[i+1][j][1];
			if(h[j]>h[j-1]) f[i][j][1]+=f[i][j-1][1];
			if(h[j]>h[i]) f[i][j][1]+=f[i][j-1][0];
			f[i][j][0]%=mod;f[i][j][1]%=mod;
		}
	}
	cout<<(f[1][n][0]+f[1][n][1])%mod<<endl;
} 

P1880 [NOI1995]石子合并

• 拆环为链
• $f[i][j]$表示区间$[i,j]$的最大得分，$g[i][j]$表示区间$[i,j]$的最小得分
• $f[i][j]=sum[i][j]+max(f[i][k]+f[k+1][j]),i\le k<j$
• $g[i][j]=sum[i][j]+min(g[i][k]+g[k+1][j]),i\le k<j$

#include
#include
using namespace std;
int n,a[210],sum[210],f[210][210],g[210][210],inf=1e9,maxans,minans=inf;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		a[n+i]=a[i];
	}
	for(int i=1;i<=2*n-1;i++){
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=2*n-1;i++){
			int j=i+len-1;
			g[i][j]=inf;
			for(int k=i;k<j;k++){
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
				g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);	
			}			
		} 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		maxans=max(maxans,f[i][i+n-1]);
		minans=min(minans,g[i][i+n-1]); 
	}
	cout<<minans<<endl<<maxans<<endl;	
} 

P1063 能量项链

• $f[i][j]=head[i]\ast head[k+1]\ast head[j]+max(f[i][k]+f[k+1][j])$

#include
#include
using namespace std;
int head[300],f[300][300];
int n,ans;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>head[i];
		head[n+i]=head[i];
	} 
	for(int len=1;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=2*n-1;i++){
			int j=i+len-1;
			for(int k=i;k<j;k++){
				f[i][j]=max(f[i][j],head[i]*head[k+1]*head[j+1]+f[i][k]+f[k+1][j]);
			}
			ans=max(ans,f[i][j]);
		}
	}	
	cout<<ans<<endl;
} 

P1005 矩阵取数游戏(60分)

• 每一行是独立的，单独求每一行的最大求和即可。
• $dp[i][j]$表示区间$[i,j]$尚未被选择的最大值
• $dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+2^{m-(j-i)+1}\ast a[i-1],dp[i][j+1]\ast 2^{m-(j-i)+1}\ast a[j+1])$

#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m,a[90];
long long dp[90][90],sum,ans;
long long quick_pow(long long a,long long x){
	long long ans=1;
	while(x){
		if(x&1) ans=ans*a;
		a=a*a;
		x>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	while(n--){
		memset(dp,0,sizeof dp);
		ans=0;
		for(int i=1;i<=m;i++) cin>>a[i];
		for(int i=1;i<=m;i++){
			for(int j=m;j>=i;j--){
				long long x=quick_pow(2,m-(j-i)-1);
				dp[i][j]=max(dp[i][j],max(dp[i-1][j]+x*a[i-1],dp[i][j+1]+x*a[j+1])); 
			}
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			ans=max(ans,dp[i][i]+quick_pow(2,m)*a[i]);
		}
		sum+=ans;
	}
	cout<<sum<<endl;
}

P3146 [USACO16OPEN]248 G

• $f[i][j]$表示区间$[i,j]$中的元素全部合并所得到的最大数值

#include
#include
using namespace std;
int n,a[250],f[250][250],ans;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];f[i][i]=a[i];
	}
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
			int j=i+len-1;
			for(int k=i;k<j;k++){
				if(f[i][k]==f[k+1][j]){
					f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+1);
					ans=max(ans,f[i][j]);
				}
			}
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
} 

P4170 [CQOI2007]涂色

$f[i][j]$表示区间$[i,j]$的最少涂色次数
$$f[i][j]=\{\begin{array}{r}1,i==j\\ min(f[i+1][j],f[i][j-1],s[i]==s[j]\\ min(f[i][k]+f[k+1][j]),k\in [i,j-1],s[i]\ne s[j]\end{array}$$

#include
#include
#include
using namespace std;
string s;
int n,f[60][60],inf=1e9;
int main(){
	cin>>s;n=s.length();s.insert(0," ");
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			f[i][j]=inf;
		}
	} 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][i]=1;
	}
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
			int j=i+len-1;			
			if(s[i]==s[j]) f[i][j]=min(f[i+1][j],f[i][j-1]);
			else{
				for(int k=i;k<j;k++){
					f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
				}
			}
		}
	}
	cout<<f[1][n]<<endl;
} 

CF607B Zuma

• $f[i][j]$表示区间$[i,j]$的最少合并时间
• $$f[i][j]=\{\begin{array}{r}f[i+1][j-1],a[i]==a[j]\\ min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j])\end{array}$$
• 初始化$f[i][i]=1$,$$f[i][i+1]=\{\begin{array}{r}1,a[i]==a[i+1]\\ 2,a[i]\ne a[i+1]\end{array}$$

#include
#include
using namespace std;
int n,a[600],f[600][600],inf=2e9;
void init(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			f[i][j]=inf;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][i]=1;	
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		if(a[i]==a[i+1]) f[i][i+1]=1;
		else f[i][i+1]=2;
	}		
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	init();
	for(int len=3;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
			int j=i+len-1;
			if(a[i]==a[j]) f[i][j]=f[i+1][j-1];
			for(int k=i;k<j;k++)
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);						
		}
	}
	cout<<f[1][n]<<endl;
}