CCF CSP 201809-4 再卖菜【DFS、差分约束系统（SPFA）】

题目链接

70分解法（DFS）

• 枚举每一个商店的菜价时判断是否满足题目要求
• 如果$(d1[s-2]+d1[s-1]+d1[s])/3<d2[s-1]$，说明第$s$天的菜价低了，达不到第$s-1$天的平均数
• 如果$(d1[s-2]+d1[s-1]+d1[s])/3==d2[s-1]$，说明第$s$天的菜价合适，符合题目要求
• 否则就太大了，再搜索下去没有意义，直接回溯

#include
#include
using namespace std;
int n,d1[310],d2[310];
void dfs(int s){
	//递归终点 
	if(s>n){
		if((d1[n-1]+d1[n])/2==d2[n]){//只check最后一个，因为保证了中间合法 
			for(int i=1;i<=n;i++) cout<<d1[i]<<" ";
			exit(0);
		}
		return;	
	}
	//放数i 
	for(int i=1;i<=300;i++){
		d1[s]=i;//尝试放上i这个数 
		if(s==1) dfs(s+1);
		else if(s==2){
			if((d1[1]+d1[2])/2<d2[1]) continue;//数太小
			else if((d1[1]+d1[2])/2==d2[1]) dfs(s+1);//合适
			else return; 
		}else{
			if((d1[s-2]+d1[s-1]+d1[s])/3<d2[s-1]) continue;
			else if((d1[s-2]+d1[s-1]+d1[s])/3==d2[s-1]) dfs(s+1);
			else return;
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>d2[i];
	}
	dfs(1);
}

80分解法（DFS）

• 枚举时希望$(d1[s-2]+d1[s-1]+d1[s])/3==d2[s-1]$，左右乘$3$后（考虑原式$/3$后的精度问题），$(d1[s-2]+d1[s-1]+d1[s])==3\ast d2[s-1]+i,(i是0,1,2中的一个)$，移向后得到$d1[s]=3\ast d2[s-1]-d1[s-2]-d1[s-1]+i$,将$i$分别枚举$0,1,2$即可

#include
#include
using namespace std;
int n,d1[310],d2[310];
void dfs(int s){
	if(s==1){
		for(int i=1;i<=199;i++){
			d1[s]=i;
			dfs(s+1);
		}
	}else if(s==2){
		for(int i=0;i<2;i++){
			d1[s]=2*d2[1]-d1[1]+i;
			if(d1[2]>0) dfs(s+1);
		}
	}else if(s==n){
		for(int i=0;i<3;i++){
			d1[n]=3*d2[n-1]-d1[n-2]-d1[n-1]+i;
			if(d1[n]>0&&(d1[n]+d1[n-1])/2==d2[n]){
				for(int j=1;j<=n;j++) cout<<d1[j]<<" ";
				exit(0);
			}
		}
		return;
	}else{
		for(int i=0;i<3;i++){
			d1[s]=3*d2[s-1]-d1[s-2]-d1[s-1]+i;
			if(d1[s]>0) dfs(s+1);
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>d2[i];
	}
	dfs(1);
}

100分解法（DFS+记忆化搜索）

• $d1[now]$的取值会受到$d1[now-2]、d1[now-1]$的影响。如果在DFS中出现了$d1[now-2]、d1[now-1]、d1[now]$已经遍历过的时候，则不需要再继续遍历
• 用$bool$型数组$vis[s][d1[s-1]][d1[s-2]]$记忆当前位置放$s$，左边第一个数放$d1[s-1]$，左边第二个数放$d1[s-2]$。
  

#include
#include
using namespace std;
int n,d1[310],d2[310];bool vis[310][310][310];
void dfs(int s){
	if(s==1){
		for(int i=1;i<=199;i++){
			d1[s]=i;
			dfs(s+1);
		}
	}else if(s==2){
		for(int i=0;i<2;i++){
			d1[s]=2*d2[1]-d1[1]+i;
			if(d1[2]>0) dfs(s+1);
		}
	}else{
		if(vis[s][d1[s-1]][d1[s-2]]) return;
		vis[s][d1[s-1]][d1[s-2]]=true;
		if(s==n){
			for(int i=0;i<3;i++){
				d1[n]=3*d2[n-1]-d1[n-2]-d1[n-1]+i;
				if(d1[n]>0&&(d1[n]+d1[n-1])/2==d2[n]){
					for(int j=1;j<=n;j++) cout<<d1[j]<<" ";
					exit(0);
				}
			}
			return;	
		}else{
			for(int i=0;i<3;i++){
				d1[s]=3*d2[s-1]-d1[s-2]-d1[s-1]+i;
				if(d1[s]>0) dfs(s+1);
			}
		}
	}
}
int main(){
	memset(vis,false,sizeof vis);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>d2[i];
	}
	dfs(1);
}

100分解法（差分约束系统）

• 构造不等式组：$b[i]=(a[i-1]+a[i]+a[i+1])/3$等式两边同$\ast 3$后得：$3b[i]+0/1/2=a[i-1]+a[i]+a[i+1]$,转化为不等式为$3b[i]\le a[i-1]+a[i]+a[i+1]\le 3b[i]+2,i\ge 2$
• 在端点处的特殊情况：$2b[1]\le a[1]+a[2]\le 2b[1]+1,2b[n]\le a[n-1]+a[n]\le 2b[n]+1$
• 记$s[i]=a[1]+a[2]+...+a[i],s[0]=0$,将上述三组不等式转换为
  $$\{\begin{array}{r}3b[i]\le s[i+1]-s[i-2]\le 3b[i]+2,i\ge 2\\ 2b[1]\le s[2]-s[0]\le 2b[1]+1\\ 2b[n]\le s[n]-s[n-2]\le 2b[n]+1\end{array}$$
• 保证最终结果为正数：$a[i]\ge 1\Rightarrow s[i]-s[i-1]\ge 1$
• 题目要求字典序最小，故要求最小解，构造$\ge$的不等式组并跑最长路
• 对最长路求得的dis数组做差分即为答案

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#include
using namespace std;
const int N=310,inf=1e9;
int n,head[N],tot,dis[N],a[N],b[N];bool vis[N];
queue<int>q;
struct Edge{
	int to,next,w;
}e[5*N];
void add(int x,int y,int z){
	e[++tot].to=y;
	e[tot].next=head[x];
	e[tot].w=z;
	head[x]=tot;	
}
void spfa(int s){
	for(int i=0;i<N;i++) dis[i]=-inf;
	q.push(s);dis[s]=0, vis[s]=1;
	while(q.size()){
		int x=q.front();q.pop();
		vis[x]=false;
		for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
			int y=e[i].to;
			if(dis[y]<dis[x]+e[i].w){
				dis[y]=dis[x]+e[i].w;
				if(!vis[y]){
					vis[y]=true,q.push(y);
				}
			}
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>b[i];
	}
	add(0,2,b[1]*2);
	add(2,0,-(b[1]*2+1));
	add(n-2,n,b[n]*2);
	add(n,n-2,-(b[n]*2+1));
	for(int i=2;i<n;i++){
		add(i-2,i+1,b[i]*3);
		add(i+1,i-2,-(b[i]*3+2));
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		add(i-1,i,1);
	}
	spfa(0);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<dis[i]-dis[i-1]<<" "; 
	}
}