数字信号处理学习笔记二：Z变换及离散时间系统分析
参考书：《数字信号处理-理论、算法与实现》第二版 胡广书 清华大学出版社
1. Z变换的定义
1）Z变换的定义方法
a）直接定义：X(z) = ∑x(n)(z的-n次幂)，求和时n范围为负正无穷
b）抽样信号的拉普拉斯变化过渡到Z变换：r = exp(σTs)，w = ΩTs，z = rexp(jw)
2）拉普拉斯复变量s与Z变换复变量z之间的映射规律
a）s直角坐标，z极坐标
b）s平面的jΩ轴对应z平面的单位圆；此时，拉普拉斯和Z变换均变为傅里叶变换
c）s平面的左平面映射到z平面的单位圆内；s的右平面映射到z平面的单位圆外
d）f在jΩ轴上从负无穷到正无穷的过程中，每间隔fs，w从0变到2π，即在单位圆上绕了一周。所以由s平面到z平面的映射不是单一的，这是离散信号的傅里叶变换是周期的根本原因
e）归一化频率： f' = f/fs，w = 2πf'
离散序列做DETF时实频率轴定标的物理解释：实际频率f、角频率Ω、圆周频率w、归一化频率f'之间的对应关系
2. Z变换的收敛域
1）研究意义：据ROC研究Z变换的存在性和唯一性；由ROC的形态，大致推断其所对应信号是右边序列、左边序列、双边序列、因果序列、有限长序列
2）求信号的Z变换和收敛域
3）有限长序列的收敛域：
a）N1>=0,N2 >0，ROC是除去原点的整个复平面 |z|>0
b）N1<0, N2<= 0,ROC是除去无穷远点的整个复平面 |z| <正无穷
c）N1<0，N2 >0，ROC是除去无穷远点和原点的整个复平面 0<|z| < 正无穷
4）右边序列：某一圆外部
a）因果序列：某一半径为圆的圆外部分
b）非因果序列：N1<0， N2= 无穷远点，ROC ：(Rx,正无穷)
5）左边序列：某一圆内
a）非因果序列
b）N2>0 不包括原点；N2<=0，包含原点
6）双变序列：左右两序列的ROC交集
3. Z变换的性质
1）线性：ROC为交集
2）时移性质：
a）右移因果序列新序列的Z变换不变
b）左移因果序列新序列的Z变换 Z(x(n+k)) = z的k次幂[X(z) -∑x(n)*z的-n次幂 （n值从0到k-1）]
c）序列的指数加权性质
d）序列的线性加权性质：X(z)为x(n)的Z变换，则nx(n)的Z变换为 -z(dX(z)/dz)
e）时域卷积性质：
3） 一些典型信号的Z变换
4. 逆Z变换
1）幂级数法（长除法）：
a）将X(z)表示成一个幂级数的形式，幂级数的系数为所求x(n)
b）根据ROC推断序列的形式（右边序列、左边序列...），长除法
2）部分分式法
a）典型信号Z变换 δ(n)---1；a的n次幂--（z/z-a）；exp(-an) -- （z/(z-exp(-a))）
b）X(z)/z = A/... + B/... + C/... 确定A、B、C值，得出X(z)为多个多项式和的形式，然后反推x(n)
3）留数法
5. LSI的转移函数
1）转移函数的定义
a）线性移不变离散时间系统的描述方法：
4种：频率响应、转移函数差分方程、卷积关系
联系纽带为系统的单位抽样响应
b）LIS系统差分方程 <---> LSI系统的转移函数
2）离散系统的零极分析
a）极零点分析是系统分析的主要内容之一
b）系统稳定性判据2
c）由极零图估计系统的频率响应
3）滤波的基本概念
6. IIR系统的信号流图与结构
1）IIR系统的信号流图
2）IIR系统的直接实现
3）IIR系统的级联实现
4）IIR系统的并联实现
7. 用Z变换求解差分方程