数字信号处理学习笔记二:Z变换及离散时间系统分析

参考书:《数字信号处理-理论、算法与实现》第二版 胡广书 清华大学出版社

1. Z变换的定义

1)Z变换的定义方法

    a)直接定义:X(z) = ∑x(n)(z的-n次幂),求和时n范围为负正无穷

    b)抽样信号的拉普拉斯变化过渡到Z变换:r = exp(σTs),w = ΩTs,z = rexp(jw)

2)拉普拉斯复变量s与Z变换复变量z之间的映射规律

    a)s直角坐标,z极坐标

    b)s平面的jΩ轴对应z平面的单位圆;此时,拉普拉斯和Z变换均变为傅里叶变换

    c)s平面的左平面映射到z平面的单位圆内;s的右平面映射到z平面的单位圆外

    d)f在jΩ轴上从负无穷到正无穷的过程中,每间隔fs,w从0变到2π,即在单位圆上绕了一周。所以由s平面到z平面的映射不是单一的,这是离散信号的傅里叶变换是周期的根本原因

    e)归一化频率: f' = f/fs,w = 2πf'

    离散序列做DETF时实频率轴定标的物理解释:实际频率f、角频率Ω、圆周频率w、归一化频率f'之间的对应关系

2. Z变换的收敛域

1)研究意义:据ROC研究Z变换的存在性和唯一性;由ROC的形态,大致推断其所对应信号是右边序列、左边序列、双边序列、因果序列、有限长序列

2)求信号的Z变换和收敛域

3)有限长序列的收敛域:

    a)N1>=0,N2 >0,ROC是除去原点的整个复平面 |z|>0

    b)N1<0, N2<= 0,ROC是除去无穷远点的整个复平面 |z| <正无穷

    c)N1<0,N2 >0,ROC是除去无穷远点和原点的整个复平面 0<|z| < 正无穷

4)右边序列:某一圆外部

   a)因果序列:某一半径为圆的圆外部分

   b)非因果序列:N1<0, N2= 无穷远点,ROC :(Rx,正无穷)

5)左边序列:某一圆内

    a)非因果序列

    b)N2>0 不包括原点;N2<=0,包含原点

6)双变序列:左右两序列的ROC交集

3. Z变换的性质

1)线性:ROC为交集

2)时移性质:

    a)右移因果序列新序列的Z变换不变

    b)左移因果序列新序列的Z变换 Z(x(n+k)) = z的k次幂[X(z) -∑x(n)*z的-n次幂 (n值从0到k-1)]

    c)序列的指数加权性质

    d)序列的线性加权性质:X(z)为x(n)的Z变换,则nx(n)的Z变换为 -z(dX(z)/dz)

    e)时域卷积性质:

3) 一些典型信号的Z变换

4. 逆Z变换

1)幂级数法(长除法):

     a)将X(z)表示成一个幂级数的形式,幂级数的系数为所求x(n)

     b)根据ROC推断序列的形式(右边序列、左边序列...),长除法

2)部分分式法

    a)典型信号Z变换 δ(n)---1;a的n次幂--(z/z-a);exp(-an) -- (z/(z-exp(-a)))

    b)X(z)/z = A/... + B/... + C/...  确定A、B、C值,得出X(z)为多个多项式和的形式,然后反推x(n)

3)留数法

5. LSI的转移函数

1)转移函数的定义

    a)线性移不变离散时间系统的描述方法:

    4种:频率响应、转移函数差分方程、卷积关系

    联系纽带为系统的单位抽样响应

    b)LIS系统差分方程   <--->    LSI系统的转移函数

2)离散系统的零极分析

    a)极零点分析是系统分析的主要内容之一

    b)系统稳定性判据2

    c)由极零图估计系统的频率响应

3)滤波的基本概念

6. IIR系统的信号流图与结构

1)IIR系统的信号流图

2)IIR系统的直接实现

3)IIR系统的级联实现

4)IIR系统的并联实现

7. 用Z变换求解差分方程

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