2019 上海网络赛 D. Counting Sequences I （dfs + 剪枝）

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(你以为是个结论题或者规律题，结果他是个暴力题)

通过小范围数据打表会发现非1的数字个数非常有限，且最大数字不会超过 n。

证明：假设存在一个数大于 n，让它尽量小，设为 n + 1，因为至少存在两个大于 1的数字，让令一个大于 1 的数字也尽量小，设为 2，可以计算出对应项：2 * (n + 1) - (n + 1 + 2) + 2 = n + 1，也就是说当存在一个数大于 n 时，最小的一项也会大于 n。

那么直接暴力打表就完事了。按递增的顺序枚举非 1 的数字，可以计算出对应项，当项数超过3000时退出递归。按顺序枚举还有一个提前退出的剪枝：$a\ast b\ast c\ast (d+1)$ 对应的项数 $>$ $a\ast b\ast c\ast d$，当 $a\ast b\ast c\ast d$ 对应项超出 3000 时，后面的就不需要枚举了，也不需要继续递归下去，可以直接回到上一层递归。

实际这样跑非常非常快，3ms就打完了3000个数字。

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代码：

#include
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
const int maxn = 3e3 + 100;
ll dp[maxn];
ll fact[maxn],ifact[maxn];
int g[maxn],top = 0;
int t,n;
ll fpow(ll a,ll b) {
	ll r = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) r = r * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return r;
}
bool dfs(int cur,int lst) {
	if(cur > 2) {
		ll v = -1,num = 0,res = 1,sum = 0;
		ll ans = 1;
		for(int i = 1; i <= top; i++) {
			int it = g[i];
			res = res * it;
			sum = sum + it;
			if(it != v) {
				ans = ans * ifact[num] % mod;
				num = 1;
				v = it;
			}
			else {
				num++;
			}
		}	
		ans = ans * ifact[num] % mod;
		int p = res - sum + cur - 1;
		if(p > 3000) return false;
			dp[p] = (dp[p] + ifact[res - sum] * fact[p] % mod * ans % mod) % mod;
		if(p == 3000) return false;
	}
	for(int i = lst; i <= 3000; i++) {
		g[++top] = i;
		bool f = dfs(cur + 1,i);
		top--;
		if(!f) break;
	}
	return true;
}
int main() {
	fact[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= 3000; i++) {
		fact[i] = fact[i - 1] * i % mod;	
	}
	ifact[3000] = fpow(fact[3000],mod - 2);
	for(int i = 2999; i >= 0; i--)
		ifact[i] = ifact[i + 1] * (i + 1) % mod;
	dfs(1,2);
	scanf("%d",&t);
	while(t--) {
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld\n",dp[n]);
	}
}