最长递增子序列的应用

注：转自博客http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3757779.html

问题描述：

    从一列数中筛除尽可能少的数使得从左往右看，这些数是从小到大再从大到小的。

解题思路：
    假设一个数组arr[n]，它的分段点是i（0-i递增，i到n-1递减），假设我们用方法LIS(i)（最长递增子序列）找到从0到i的递增子序列，LDS找到从i到n-1的最长递减子序列，那么它的总长度为LIS(i) + LDS(i) - 1，所以我们扫描整个数组，即让i从0到n-1，找出使LIS(i) + LDS(i) - 1最大的即可。

    下面先讲解最长递增子序列的求解方法。
（1）动态规划
    以i结尾的序列的最长递增子序列和其[0, i - 1]“前缀”的最长递增子序列有关，设LIS[i]保存以i结尾的最长递增子序列的长度：
    若i = 0，则LIS[i] = 1；
    若i > 0，则LIS[i]的值和其[0, i - 1]前缀的最长递增子序列长度有关，用j遍历[0, i - 1]得到其最长递增子序列为LIS[j]，对每一个LIS[j]，如果序列array[j]  < array[i]并且LIS[j] + 1 > LIS[i]，则LIS[i]的值变成LIS[j] + 1。即：
    LIS[i] = max{1, LIS[j] + 1}，其中array[i] > array[j] 且 j = [0, i - 1]。
    代码如下所示。

 int MAX(int *LIS,int len)
 {
     int max = 0;
     for(int i = 0;i < len;++i)
     {
         cout<<i<<" "<<LIS[i]<<endl;
         if(LIS[i] > max)
             max = LIS[i];
     }
     return max;
 }

 int LIS(int *array,int len)
 {
     int *LIS = new int[len];//用于记录当前各元素作为最大元素的最长递增序列长度
     for(int i = 0;i < len;++i)
     {
         LIS[i] = 1;//设置当前元素array[i]作为最大元素的最长递增序列长度为1
         for(int j = 0; j < i;++j)
         {
             if(array[i] > array[j] && LIS[j] + 1 > LIS[i])
             {
                 LIS[i] = LIS[j] + 1;
             }
         }
     }
     int res = MAX(LIS,len);
     delete LIS;
     return res;//获得LIS中的最大值并返回；
 }

（2）二分查找+动态规划实现
    假设存在一个序列d[1...9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出它的LIS长度是5。
    下面一步一步试着找到它。
    我们定义一个序列B，然后令i = 1 to 9逐个考察这个序列。
    此外，我们用一个变量len来记录现在的最长算到多少。
    首先，把d[1]有序的放到B中，令B[1] = 2，就是说当只有一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2，这时len = 1；
    然后，把d[2]有序的放到B中，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1] = 2已经没用了，很容易理解吧，这时len = 1；
    接着，d[3] = 5，d[3] > B[1]，所以令B[1 + 1] = B[2] = d[3] = 5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧，这时B[1...2] = 1, 5，len = 2；
    再来，d[4] = 3，它正好在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时B[1...2] = 1,3，len = 2；
    继续，d[5] = 6，它在3的后面，因为B[2] = 3，而6在3后面，于是很容易推知B[3] = 6，这时B[1...3] = 1,3,6，还是很容易理解吧？这时len = 3；
    第6个，d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1...3] = 1,3,4，这时len = 3；
    第7个，d[7] = 8，它很大，比4大，于是B[4] = 8，这时len = 4；
    第8个，d[8] = 9，得到B[5] = 9，len继续增大，这时len = 5；
    最后一个，d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] = 7, B[1...5] = 1,3,4,7,9，len = 5。
    于是我们知道了LIS的长度为5。
    注意，注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储了对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这个数组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字8和9，那么就可以把8更新到d[5]，9更新到d[6]，得到LIS的长度为6。
    然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且进行替换而不需要移动——也就是说，可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logn)，于是算法的时间复杂度就降低到了O(nlogn)了。
    代码如下：

 int LIS(int *array,int len)
 {
     //LIS数组中存储的是 递增子序列中最大值最小的子序列的最后一个元素（最大元素）在array中的位置
     int *LIS = new int[len];
     int left,mid,right;
     int max=1;
     LIS[0]=array[0];
     for(int i = 1;i < len;++i)
     {
         left = 0;
         right = max;
         while(left <=right)
         {
             mid = (left+right)/2;
             if(LIS[mid] < array[i])
                 left = mid +1;
             else
                 right = mid -1;
         }
         LIS[left] = array[i];//插入
         if(left > max)
         {
             max++;
         }
     }
     delete LIS;
     return max;
 }

    
    下面就开始实现“从一列数中筛除尽可能少的数使得从左往右看，这些数是从小到大再从大到小的“这个问题。
    双端LIS问题，用动态规划的思想可以解决，目标规划函数为max{B[i] + C[i] - 1}，其中B[i]是从左到右的，0~i个数之间满足递增的数字个数；C[i]为从右到左的，n- 1 ~ i个数之间满足递增的数字个数。最后结果为n - max + 1，其中动态规划的时候，可以用二分查找进行处理，如上述求最长递增子序列的方法二。
    代码如下。

 /*
 *copyright@nciaebupt 转载请注明出处
 *问题：从一列数中筛除尽可能少的数使得从左往右看，这些数是从小到大再从大到小的（网易）。
 *比如数列1,4,3,5,6,7,2,0 删除的最少的数的个数为1
 *求解思路：双端LIS问题，使用动态规划的思路求解，时间复杂度O(nlog(n))
 */
 #include <cstdio>
 #include <iostream>

 using namespace std;

 int DoubleEndLIS(int *array,int len)
 {
     int left,mid,right;
     int max=0;
     int k =0;

     //LIS数组中存储的是 递增子序列中最大值最小的子序列的最后一个元素（最大元素）在array中的位置
     int *LIS = new int[len];
     //从左到右LIS中最长子序列中最大值最小的子序列的最后一个元素所在的位置,也就是0~i的数字序列中最长递增子序列的长度-1
     int *B = new int[len];
     //从右到左LIS中最长子序列中最大值最小的子序列的最后一个元素所在的位置,也就是len-1~i的数字序列中最长递增子序列的长度-1
     int *C = new int[len];
     //从左到右
     for(int i = 0;i < len;++i)//LIS数组清零
     {
         B[i] = 0;
         LIS[i] = 0;
     }
     LIS[0] = array[0];
     for(int i = 1;i < len;++i)
     {
         left = 0;
         right = B[k];
         while(left <= right)
         {
             mid = (left + right)/2;
             if(array[i] < LIS[mid])
             {
                 right = mid - 1;
             }
             else
             {
                 left = mid + 1;
             }
         }

         LIS[left] = array[i];//将array[i]插入到LIS中
         if(left > B[k])
         {
             B[k+1] = B[k] + 1;
             k++;
         }
     }
     for(int i = 0;i < k;++i)
     {
         B[i]++;
     }
     //从右到左
     for(int i = 0;i < len;++i)//LIS数组清零
     {
         C[i] = 0;
         LIS[i] = 0;
     }
     k = 0;
     LIS[0] = array[len-1];
     for(int i = len-2;i >= 0;--i)
     {
         left = 0;
         right = C[k];
         while(left <= right)
         {
             mid = (left + right)/2;
             if(array[i] < LIS[mid])
             {
                 right = mid - 1;
             }
             else
             {
                 left = mid + 1;
             }
         }
         LIS[left] = array[i];
         if(left > C[k])
         {
             C[k+1] = C[k] + 1;
             k++;
         }
     }
     for(int i = 0;i <= k;++i)
     {
         C[i]++;
     }

     //求max
     for(int i = 0;i < len;++i)
     {
         //cout<<B[i]<<" "<<C[i]<<endl;
         if(B[i]+C[i]>max)
             max=B[i] + C[i];
     }

     return len - max +1;
 }

 int main(int args,char ** argv)
 {
     int array[] = {1,4,3,5,6,7,2,0};
     int len = sizeof(array)/sizeof(int);
     int res = DoubleEndLIS(array,len);
     cout<<res<<endl;
     getchar();
     return 0;
 }