Lee_Yu_Rui

（保证能看懂系列）SVM系列（一）hard-margin SVM 详细原理

感谢youtube上的视频对SVM的详细推导

https://www.youtube.com/watch?v=ZF2QR7nSUhg&list=PLOxMGJ_8X74Z1N3OcacUaCxiXaGNHtFw2

本文先对硬间隔的SVM进行详细的理论推导，支持向量机的基本思想其实是很简单的，但这个数学过程是真的有点复杂，尤其后面的SMO，别担心，本文没有，因为我也不知道到底咋写...对这个算法还不是特别熟悉，有问题请帮忙指出。

三种形式SVM

针对不同的分类问题，有以下三种形式的SVM

（一）数据是线性可分的，采用hard margin 就是说数据可以用一条直线将以区分，如下图所以，中间的线就是我们要距离间隔最大的线，就是我们要找到的超平面

（二）数据是近似线性可分的，采用soft margin 就是说数据在一定的错误容忍度上，可以用一条直线将以区分；如下图，如果按照第一种情况，会产生两个黄色的边界，因为受到一个红色异常点的影响，这两个边界的间隔很小，如果目前有一个黑色的待分类的点，按照黄色线的分类器，就会划分为红色，但实际上它可能是绿色，因为和绿色的聚集中心是比较近的。所以为了减少异常点的影响，我们允许分类器有一点错分的情况，这就是soft margin

（三）数据是线性不可分的，利用非线性的转换，提高数据的维度，使得数据在高维度上线性可分，称为kernel SVM。下图中左编的图是无法用一条线分割的，但是如果我们通过某些中变化，可能就会使得数据在高维度线性可分，比如右图的情况，在中间产生一个平面就可以将其区分。

（一）hard-margin SVM 原理

该算法就是找到一个超平面，使得离“最近的点”的距离最大。下式

$max_{w,b}min_{x_{i}} distance(w,b,x_{i})$ （0）

$distance(w,b,x_{i})$ 表示任何一点到超平面的距离，再 $min_{x_{i}}$ ，表示找到最近的点， $max_{w,b}$ 离“最近的点”的距离最大的那个超平面（用w,b可以决定超平面）

我们讨论下图的二维情况，该超平面就是一条线。原来就是找到中间那条线，但也不是那么自信，所以就上下各预留了一点空间。该方法又称为最大间隔分类器。间隔指的是上下两个线之间的距离，这个距离是任何一个线到中间的线的2倍，所有可以变成让一半的距离distance最大

”任何一点xi到 $w^{T}x + b =0$ 的距离要大于等于1，并且越大越好“，这里的等于1的情况就是我们设置的边界，该距离可以利用点到直线距离公式表示：

$distance = \frac{\left \| w^{T}x_{i} + b \right \|}{\left \| w^{T} \right \|}$ （1）

SVM处理的二分类问题， $y_{i}\in (-1,1)$ ,

如果xi是正样本yi =1，同时 $w^{T}x_{i} + b \geqslant 1$ ,即 $y_{i}(w^{T}x_{i} + b) \geqslant 1$

如果xi是负样本yi =-1，同时 $w^{T}x_{i} + b \leqslant -1$ ,即 $y_{i}(w^{T}x_{i} + b) \geqslant 1$

所以将（1）式上面乘yi，就可以将绝对值去掉，等式不变

$distance = \frac{ y_{i}( w^{T}x_{i} + b) }{\left \| w^{T} \right \|}$ (2)

带入（0）可得：

$max_{w,b}min_{x_{i}} distance(w,b,x_{i}) =max_{w,b}min_{x_{i}} \frac{ y_{i}( w^{T}x_{i} + b ) }{\left \| w^{T} \right \|} = max_{w,b}\frac{1 }{\left \| w^{T} \right \|} min_{x_{i}} y_{i}(w^{T}x_{i} + b)$ （3）

上式后半部门的最小值就是 $min_{x_{i}} y_{i}(w^{T}x_{i} + b ) = 1$

所以（3）可以同等表达为：

$max_{w,b}\frac{1 }{\left \| w^{T} \right \|}$ s.t. $y_{i}(w^{T}x_{i} + b ) \geqslant 1$ （4）

s.t.表示的是限制条件，对于优化问题，我们习惯性求最小值，并去掉绝对值：所以将（4）转变为

$min_{w,b} \frac{1}{2}(w^{T})^2$ ， s.t. $y_{i}(w^{T}x_{i} + b ) \geqslant 1$ （5）

（5）式子的目标函数是二次函数，限制条件是N个线性不等式条件，所以这是凸二次优化问题，可以用拉格朗日乘子法和KKT条件进行求解。拉格朗日乘子法可以寻找多元函数在一组约束条件下的极值，将d个变量与k个约束的最优化问题转变成d+k个变量的无约束问题。

（二）拉格朗日乘子法

1. 等式约束

（6）

公式（6）描述的是这样的问题：找到x*,使得目标值f(x)最小，且满足h(x)=0，根据根据拉格朗日定理将上式转成（7）对h(x)没有约束的式子，从而求解

（7）

这里来解释一下为什么（6）和（7）等价？

下图黑色的圈是f(x)在等于不同的常数的时候的等高线，我们要找到满足h(x)=0的条件下的最小值，所以就是该值要在红线上，由此可见应该是两者相切的地方。因为在相交的时候，一定可以在左或者右找到更小的值。在相切处必定是极点位置，因为是凸函数，所以就是极小值。那么切点初的切线就是同一条，因为梯度方向是垂直切线的，所以此时 $\bigtriangledown f(x)$ 和 $\bigtriangledown h(x)$ 是共线的，至于各自的方向还要看具体值得大小分布，因此可得 $\bigtriangledown f(x^{*}) + \lambda \bigtriangledown h(x^{*}) = 0$ ，这个是根据（6）的描述推导出的结果

接下来我们看看（7），对x和λ求导

$\frac{\partial L(x,\lambda ))}{\partial x} =\bigtriangledown f(x^{*}) + \lambda \bigtriangledown h(x^{*}) = 0$

$\frac{\partial L(x,\lambda ))}{\partial \lambda } = h(x^{*}) = 0$

是不是很神奇！！！！对（7）式的操作和（6）式的结果完全一样，并且自带等式特效！所以可以进行等价的求解。

2.不等式约束

（8）

$L(x,\mu) = f(x) + \mu g(x)$ （9）

公式（8）描述的是这样的问题：找到x*,使得目标值f(x)最小，且满足g(x)<=0，根据根据拉格朗日定理或者说KKT条件将上式转成（9）对g(x)没有约束的式子，从而求解。

（1）g(x)有两种情况，第一种就是 g(x)<0的时候，就是图中①的位置，在这个位置，x无论在g(x)中向哪个方向移动一点，都仍然在可行域g(x)中，也就是说可以认为不存在g(x)的限制，那么就可以直接求解 $\bigtriangledown f(x) = 0$ 所对应的点，那么就是相当于（9）中的 u=0；也就是 $\mu g(x) = 0$

（2）第二种就是最小值在g(x)=0上，图中的②的位置，以下就要说明为什么λ大于等于0，请时刻记住，梯度是指向函数值增大的方向。好，那么 $\bigtriangledown g(x)$ 一定指向可行域的外部，因为外面g(x)>0；对于在该点是最小值，表明在除了该点之外的可行域中的点的值都比该点大，所以 $\bigtriangledown f(x)$ 指向大的地方，指向可行域内。那么也就是说 $\bigtriangledown f(x)$ 和 $\bigtriangledown g(x)$ 是反向的！此时，因为在线上，所以也满足 $\mu g(x) = 0$

$\bigtriangledown f(x) + \mu \bigtriangledown g(x) = 0$ （ $\mu>0$ ）

联想到我们SVM的基本原理，这个不等式就是我们的边界，在边界上的点，它的u>0，除此之外所有的都=0，也就是说最后的f(x)函数的最优化问题，只和最近的点有关，这些点称为支持向量，这就是SVM的核心。

在不等式中使得拉格朗日等价的条件就是KKT条件，根据以上的分析可以KKT条件是：

$g(x)\leqslant 0$

$\mu \geqslant 0$

$\mu g(x) = 0$ (10)

3.多个约束条件

当有多个约束条件的时候就是

（10）

以及KKT条件

（11）

利用拉格朗日求解SVM的原理

比较（10）和（5）

$min_{w,b} \frac{1}{2}(w^{T})^2$ ， s.t. $y_{i}(w^{T}x_{i} + b ) \geqslant 1$ （5）

可以发现

$f(x) = \frac{1}{2}(w^{T})^2$

$g(x)= 1-y_{i}(w^{T}x_{i} + b )$

所以拉格朗日乘子就是

$L(w,b,\mu) = \frac{1}{2}(w^{T})^2+\sum_{i=1}^{N} \mu_{i} (1-y_{i}(w^{T}x_{i} + b ))$

所以得到和（5）等价的（12）

$min_{w,b} max _{\mu}L(w,b,\mu)$ s.t. $\mu_{i} \geqslant 0$ (12)

这里就可能会好奇为什么会出现min 和 max ,下面就是解释

如果 $g(x)= 1-y_{i}(w^{T}x_{i} + b )>0$ , $max _{\mu}L(w,b,\mu) =\frac{1}{2}(w^{T})^2 + \infty =\infty$ ，式子的意思是使得拉格朗日函数最大的时候，u可以无穷大，所以结果就是无穷， $min_{w,b} max _{\mu}L(w,b,\mu)= \infty$
如果 $g(x)= 1-y_{i}(w^{T}x_{i} + b ) \leqslant 0$ , $max _{\mu}L(w,b,\mu) =\frac{1}{2}(w^{T})^2 + 0 =\frac{1}{2}(w^{T})^2$ ,式子的意思是使得拉格朗日函数最大的时候，要想式子最大，必然u=0或者g(x)=0，反正相乘为0， $min_{w,b} max _{\mu}L(w,b,\mu)= min_{w,b}\frac{1}{2}(w^{T})^2$

以上两种情况合并就是 $min_{w,b} max _{\mu}L(w,b,\mu)= min_{w,b}(\infty ,\frac{1}{2}(w^{T})^2)=min_{w,b}(\frac{1}{2}(w^{T})^2)$ 在 $g(x)= 1-y_{i}(w^{T}x_{i} + b ) \leqslant 0$ 取得。这是不是就是（12）和（5）的等价

拉格朗日函数求解

$L(w,b,\mu) = \frac{1}{2}(w^{T})^2+\sum_{i=1}^{N} \mu_{i} (1-y_{i}(w^{T}x_{i} + b ))$

$min_{w,b} max _{\mu}L(w,b,\mu)$ s.t. $\mu_{i} \geqslant 0$ (12)

利用对偶原则，求解上式子，因为凸二次规划问题，满足强对偶关系，就是以下式子等价

$min_{w,b} max _{\mu}L(w,b,\mu) =max _{\mu}min_{w,b} L(w,b,\mu)$ （13）

对偶问题中先计算 $min_{w,b} L(w,b,\mu)$ ，这是一个没有约束的问题，直接对w,b求偏导即可

$\frac{\partial }{\partial w} L(w,b,\mu) = w -\sum_{i=1}^{N} \mu_{i}y_{i}x_{i}=0$ => $w =\sum_{i=1}^{N} \mu_{i}y_{i}x_{i}$

$\frac{\partial }{\partial b} L(w,b,\mu) = \sum_{i=1}^{N} \mu_{i}y_{i}=0$ （14）

将（14）带入（12），得到最小的值

$min_{w,b} L(w,b,\mu) = -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N} \mu_{i}y_{i}x_{i}^{T}\sum_{j=1}^{N} \mu_{j}y_{j}x_{j}+\sum_{i=1}^{N} \mu_{i}$

（12）式就变成了

$max _{\mu}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N} \mu_{i}y_{i}x_{i}^{T}\sum_{j=1}^{N} \mu_{j}y_{j}x_{j}+\sum_{i=1}^{N} \mu_{i}$

s.t. $\mu_{i} \geqslant 0$ (15)

同样（15）中的求最大变为求最小

$min _{\mu} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N} \mu_{i}y_{i}x_{i}^{T}\sum_{j=1}^{N} \mu_{j}y_{j}x_{j}-\sum_{i=1}^{N} \mu_{i}$

s.t. $\mu_{i} \geqslant 0$ and $\sum_{i=1}^{N} \mu_{i}y_{i}=0$ (16)

总结KKT条件，在整个过程中的限制条件：按照（11）可得

$\frac{\partial L(w,b,\mu) }{\partial w} = 0$ , $\frac{\partial L(w,b,\mu) }{\partial b} = 0$ , $\frac{\partial L(w,b,\mu) }{\partial \mu} = 0$ ,

$g(x_{i})\leqslant 0$

$\mu_{i} \geqslant 0$

$\mu_{i} g(x_{i}) = 0$ (17)

求出满足KKT条件的u，然后就可以得到w,b,若存在（xk,yk）满足 $1-y_{i}(w^{T}x_{i} + b ) = 0$ ，即在直线上

$w^{*} =\sum_{i=1}^{N} \mu_{i}y_{i}x_{i}$

$b^{*} =y_{k}-\sum_{i=1}^{N} \mu_{i}y_{i}x_{i}^{T}x_{k}$

则最终的分类决策函数

$f(x) = sign(w^{*}^{T}x + b^{*} )$

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新站开始被收录后，我们应该做什么？百度终于开始收录自己的网站了，作为站长，你是不是觉得那一刻很有成就感呢，同时，你是不是又很茫然，不知道下一步该做什么了？至少我当初就是这样，在这里和大家一份分享一下新站收录后，我们要做哪些工作。至于如何让百度快速收录自己的网站，可以参考我之前的帖子《新站让百
oracle 连接碰到的问题文强chu oracle
Unable to find a java Virtual Machine－－安装64位版Oracle11gR2后无法启动SQLDeveloper的解决方案作者：草根IT网来源：未知人气：813标签：导读：安装64位版Oracle11gR2后发现启动SQLDeveloper时弹出配置java.exe的路径，找到Oracle自带java.exe后产生的路径“C:\app\用户名\prod
Swing中按ctrl键同时移动鼠标拖动组件（类中多借口共享同一数据）小桔子 java 继承 swing 接口监听
都知道java中类只能单继承，但可以实现多个接口，但我发现实现多个接口之后，多个接口却不能共享同一个数据，应用开发中想实现：当用户按着ctrl键时，可以用鼠标点击拖动组件，比如说文本框。编写一个监听实现KeyListener,NouseListener,MouseMotionListener三个接口，重写方法。定义一个全局变量boolea
linux常用的命令 aichenglong linux 常用命令
1 startx切换到图形化界面 2 man命令:查看帮助信息 man 需要查看的命令,man命令提供了大量的帮助信息,一般可以分成4个部分 name:对命令的简单说明 synopsis:命令的使用格式说明 description:命令的详细说明信息 options:命令的各项说明 3 date:显示时间语法：date [OPTION]... [+FORMAT]
eclipse内存优化 AILIKES java eclipse jvm jdk
一基本说明在JVM中，总体上分2块内存区,默认空余堆内存小于 40%时，JVM就会增大堆直到-Xmx的最大限制；空余堆内存大于70%时，JVM会减少堆直到-Xms的最小限制。 1)堆内存(Heap memory):堆是运行时数据区域，所有类实例和数组的内存均从此处分配,是Java代码可及的内存，是留给开发人
关键字的使用探讨百合不是茶关键字
//关键字的使用探讨/*访问关键词private 只能在本类中访问public 只能在本工程中访问protected 只能在包中和子类中访问默认的只能在包中访问*//*final 类方法变量 final 类不能被继承 final 方法不能被子类覆盖，但可以继承 final 变量只能有一次赋值，赋值后不能改变 final 不能用来修饰构造方法*///this()
JS中定义对象的几种方式 bijian1013 js
1. 基于已有对象扩充其对象和方法(只适合于临时的生成一个对象)： <html> <head> <title>基于已有对象扩充其对象和方法(只适合于临时的生成一个对象)</title> </head> <script> var obj = new Object();
表驱动法实例 bijian1013 java 表驱动法 TDD
获得月的天数是典型的直接访问驱动表方式的实例，下面我们来展示一下： MonthDaysTest.java package com.study.test; import org.junit.Assert; import org.junit.Test; import com.study.MonthDays; public class MonthDaysTest { @T
LInux启停重启常用服务器的脚本 bit1129 linux
启动，停止和重启常用服务器的Bash脚本，对于每个服务器，需要根据实际的安装路径做相应的修改 #! /bin/bash Servers=(Apache2, Nginx, Resin, Tomcat, Couchbase, SVN, ActiveMQ, Mongo); Ops=(Start, Stop, Restart); currentDir=$(pwd); echo
【HBase六】REST操作HBase bit1129 hbase
HBase提供了REST风格的服务方便查看HBase集群的信息，以及执行增删改查操作 1. 启动和停止HBase REST 服务 1.1 启动REST服务前台启动（默认端口号8080） [hadoop@hadoop bin]$ ./hbase rest start 后台启动 hbase-daemon.sh start rest 启动时指定
大话zabbix 3.0设计假设 ronin47
What’s new in Zabbix 2.0? 去年开始使用Zabbix的时候，是1.8.X的版本，今年Zabbix已经跨入了2.0的时代。看了2.0的release notes，和performance相关的有下面几个： :: Performance improvements::Trigger related da
http错误码大全 byalias http协议 javaweb
响应码由三位十进制数字组成，它们出现在由HTTP服务器发送的响应的第一行。响应码分五种类型，由它们的第一位数字表示： 1）1xx：信息，请求收到，继续处理 2）2xx：成功，行为被成功地接受、理解和采纳 3）3xx：重定向，为了完成请求，必须进一步执行的动作 4）4xx：客户端错误，请求包含语法错误或者请求无法实现 5）5xx：服务器错误，服务器不能实现一种明显无效的请求
J2EE设计模式-Intercepting Filter bylijinnan java 设计模式数据结构
Intercepting Filter类似于职责链模式有两种实现其中一种是Filter之间没有联系，全部Filter都存放在FilterChain中，由FilterChain来有序或无序地把把所有Filter调用一遍。没有用到链表这种数据结构。示例如下： package com.ljn.filter.custom; import java.util.ArrayList;
修改jboss端口 chicony jboss
修改jboss端口 %JBOSS_HOME%\server\{服务实例名}\conf\bindingservice.beans\META-INF\bindings-jboss-beans.xml 中找到 <!-- The ports-default bindings are obtained by taking the base bindin
c++ 用类模版实现数组类 CrazyMizzz C++
最近c++学到数组类，写了代码将他实现，基本具有vector类的功能 #include<iostream> #include<string> #include<cassert> using namespace std; template<class T> class Array { public: //构造函数
hadoop dfs.datanode.du.reserved 预留空间配置方法 daizj hadoop 预留空间
对于datanode配置预留空间的方法为：在hdfs-site.xml添加如下配置 <property> <name>dfs.datanode.du.reserved</name> <value>10737418240</value>
mysql远程访问的设置 dcj3sjt126com mysql 防火墙
第一步: 激活网络设置你需要编辑mysql配置文件my.cnf. 通常状况，my.cnf放置于在以下目录： /etc/mysql/my.cnf (Debian linux) /etc/my.cnf （Red Hat Linux/Fedora Linux) /var/db/mysql/my.cnf (FreeBSD) 然后用vi编辑my.cnf，修改内容从以下行： [mysqld] 你所需要: 1
ios 使用特定的popToViewController返回到相应的Controller dcj3sjt126com controller
1、取navigationCtroller中的Controllers NSArray * ctrlArray = self.navigationController.viewControllers; 2、取出后，执行， [self.navigationController popToViewController:[ctrlArray objectAtIndex:0] animated:YES
Linux正则表达式和通配符的区别 eksliang 正则表达式通配符和正则表达式的区别通配符
转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/1976579 首先得明白二者是截然不同的通配符只能用在shell命令中,用来处理字符串的的匹配。判断一个命令是否为bash shell(linux 默认的shell)的内置命令 type -t commad 返回结果含义 file 表示为外部命令 alias 表示该
Ubuntu Mysql Install and CONF gengzg Install
http://www.navicat.com.cn/download/navicat-for-mysql Step1: 下载Navicat ，网址：http://www.navicat.com/en/download/download.html Step2：进入下载目录，解压压缩包：tar -zxvf navicat11_mysql_en.tar.gz
批处理，删除文件bat huqiji windows dos
@echo off ::演示：删除指定路径下指定天数之前（以文件名中包含的日期字符串为准）的文件。 ::如果演示结果无误，把del前面的echo去掉，即可实现真正删除。 ::本例假设文件名中包含的日期字符串（比如：bak-2009-12-25.log） rem 指定待删除文件的存放路径 set SrcDir=C:/Test/BatHome rem 指定天数 set DaysAgo=1
跨浏览器兼容的HTML5视频音频播放器天梯梦 html5
HTML5的video和audio标签是用来在网页中加入视频和音频的标签，在支持html5的浏览器中不需要预先加载Adobe Flash浏览器插件就能轻松快速的播放视频和音频文件。而html5media.js可以在不支持html5的浏览器上使video和audio标签生效。 How to enable <video> and <audio> tags in
Bundle自定义数据传递 hm4123660 android Serializable 自定义数据传递 Bundle Parcelable
我们都知道Bundle可能过put****()方法添加各种基本类型的数据，Intent也可以通过putExtras(Bundle)将数据添加进去，然后通过startActivity()跳到下一下Activity的时候就把数据也传到下一个Activity了。如传递一个字符串到下一个Activity 把数据放到Intent
C＃：异步编程和线程的使用（.NET 4.5 ） powertoolsteam .net 线程 C#异步编程
异步编程和线程处理是并发或并行编程非常重要的功能特征。为了实现异步编程，可使用线程也可以不用。将异步与线程同时讲，将有助于我们更好的理解它们的特征。本文中涉及关键知识点 1. 异步编程 2. 线程的使用 3. 基于任务的异步模式 4. 并行编程 5. 总结异步编程什么是异步操作？异步操作是指某些操作能够独立运行，不依赖主流程或主其他处理流程。通常情况下，C＃程序
spark 查看 job history 日志 Stark_Summer 日志 spark history job
SPARK_HOME/conf 下: spark-defaults.conf 增加如下内容 spark.eventLog.enabled true spark.eventLog.dir hdfs://master:8020/var/log/spark spark.eventLog.compress true spark-env.sh 增加如下内容 export SP
SSH框架搭建 wangxiukai2015eye spring Hibernate struts
MyEclipse搭建SSH框架 Struts Spring Hibernate 1、new一个web project。 2、右键项目，为项目添加Struts支持。选择Struts2 Core Libraries -<MyEclipes-Library> 点击Finish。src目录下多了struts

（ 保证能看懂系列）SVM系列（一）hard-margin SVM 详细原理