图的克鲁斯卡尔算法求最小生成树

克鲁斯卡尔算法的核心思想是:在带权连通图中,不断地在边集合中找到最小的边,如果该边满足得到最小生成树的条件,就将其构造,直到最后得到一颗最小生成树。

       克鲁斯卡尔算法的执行步骤:
       第一步:在带权连通图中,将边的权值排序(从小到大);
       第二步:判断是否需要选择这条边(此时图中的边已按权值从小到大排好序)。判断的依据是边的两个顶点是否已连通,如果连通则继续下一条;如果不连通,那么就选择使其连通。
       第三步:循环第二步,直到图中所有的顶点都在同一个连通分量中,即得到最小生成树。

下面我用图示法来演示克鲁斯卡尔算法的工作流程,如下图:

图的克鲁斯卡尔算法求最小生成树_第1张图片

 

首先,将图中所有的边排序(从小到大),我们将以此结果来选择。排序后各边按权值从小到大依次是:

HG < (CI=GF) < (AB=CF) < GI < (CD=HI) < (AH=BC) < DE < BH < DF

并且定义一个parent[]数组,大小为图中顶点个数,初始化{0,0,0,0,0,0,0,0,0},下标对应的值是当前顶点的终结点。

H到G:1、C到I:2、G到F:2、A到B:4、C到F:4、G到I:6、C到D:7、H到I:7、A到H:8、B到C:8、D到E:9、B到H:11、D到F:14

需要注意的是:我们把上面左边左边定位begin,右边顶点定为end,例如HG:H begin G end

接下来,我们先选择HG边,将这两个点加入到已找到点的集合。这样图就变成了,如图
注意:当我们把HG连接起来后,因为此时H和G都没有他们的最终端顶点(因为parent里此时都是0,0代表没有终顶点),所以可以连接,并且把H的parent设为G!
parent={0,0,0,0,0,0,0,6,0},意思是H顶点的终顶点是6下标(G)了
继续,这次选择边CI(当有两条边权值相等时,可随意选一条),此时需做判断。

判断法则:当将边CI加入到已找到边的集合中时,是否会形成回路?
      1.我们首先要判断C和I这俩顶点分别的终顶点,C(parent对应的2下标),I(对应8下标),都是0,所以没有回环,可以连
      2.如果C和I俩终顶点是一样的,形成回路,不符合要求,直接进行下一次操作
而此时C和I对应的都是0,所以都没有终顶点,可连,并且把C的终顶点设为I
parent={0,0,8,0,0,0,0,6,0}
图的克鲁斯卡尔算法求最小生成树_第2张图片

继续,选择GF边,对G和F分别判断终顶点是谁,因为parent数组下标5和6都是0,所以没有回环,可以连

图的克鲁斯卡尔算法求最小生成树_第3张图片

parent={0,0,8,0,0,0,5,6,0},意思是G顶点的终顶点是5下标(F)了

继续,选择AB进行判断,因为parent数组下标0,1都是0,所以不回环,可以连接

图的克鲁斯卡尔算法求最小生成树_第4张图片

 

parent={1,0,8,0,0,0,5,6,0},意思是G顶点的终顶点是5下标(F)了

继续,对CF进行判断,注意了parent数组下标是2对应的值是8(I),但是8下标对应的值是0,也就是说目前C的终顶点是I,F对应的下标5对应的值是0,所以他俩终点不一样,可以连接!

同时,把I的终顶点设为F

parent={1,0,8,0,0,0,5,6,5},意思是I顶点的终顶点是5下标(F)了

图的克鲁斯卡尔算法求最小生成树_第5张图片

继续,这次选择GI,注意了parent数组下标6对应的值是5,8下标的值是5,所以形成了回环,不可连!

图的克鲁斯卡尔算法求最小生成树_第6张图片

继续,选择CD,C和D对应的终顶点是F和无,所以CD可以连!同时把C的终顶点F的终顶点设为D

parent={1,0,8,0,0,3,5,6,5},意思是F顶点的终顶点是3下标(D)了

继续对边集合所有的边按照上面的规则判断,得到最终的最小生成树是:

图的克鲁斯卡尔算法求最小生成树_第7张图片

 代码如下:

public class GraphKruskal2 {
	public Edge[] edges;
	public int edgeSize;;

	public GraphKruskal2(int edgeSize) {
		this.edgeSize = edgeSize;
		edges = new Edge[edgeSize];
	}

	public void createEdgeArray() {
		Edge edge0 = new Edge(4, 7, 7);
		Edge edge1 = new Edge(2, 8, 8);
		Edge edge2 = new Edge(0, 1, 10);
		Edge edge3 = new Edge(0, 5, 11);
		Edge edge4 = new Edge(1, 8, 12);
		Edge edge5 = new Edge(3, 7, 16);
		Edge edge6 = new Edge(1, 6, 16);
		Edge edge7 = new Edge(5, 6, 17);
		Edge edge8 = new Edge(1, 2, 18);
		Edge edge9 = new Edge(6, 7, 19);
		Edge edge10 = new Edge(3, 4, 20);
		Edge edge11 = new Edge(3, 8, 21);
		Edge edge12 = new Edge(2, 3, 22);
		Edge edge13 = new Edge(3, 6, 24);
		Edge edge14 = new Edge(4, 5, 26);
		edges[0] = edge0;
		edges[1] = edge1;
		edges[2] = edge2;
		edges[3] = edge3;
		edges[4] = edge4;
		edges[5] = edge5;
		edges[6] = edge6;
		edges[7] = edge7;
		edges[8] = edge8;
		edges[9] = edge9;
		edges[10] = edge10;
		edges[11] = edge11;
		edges[12] = edge12;
		edges[13] = edge13;
		edges[14] = edge14;
	}

	class Edge {
		public int begin;
		public int end;
		public int weight;

		public Edge(int begin, int end, int weight) {
			this.begin = begin;
			this.end = end;
			this.weight = weight;
		}

	}

	public void kruskal() {
		int m, n, sum = 0;
		int[] parent = new int[edgeSize];// 下标指顶点位置,值指的是当前下标对应的顶点邻接父节点
		for (int i = 0; i < edgeSize; i++) {
			parent[i] = 0;
		}
		for (int i = 0; i < edgeSize; i++) {
			// 对边数组进行从小到大遍历
			// 找到边的begin,判断当前begin的终顶点
			n = find(parent, edges[i].begin);
			// 找到边的end,判断当前end的终顶点
			m = find(parent, edges[i].end);
			// 如果当前n=m的话,就代表有回环,不能连接
			if (n != m) {
				parent[n] = m;
				System.out.println("起始顶点:" + edges[i].begin + " ---结束顶点:"
						+ edges[i].end);
				sum += edges[i].weight;
			} else {
				System.out.println("第" + i + "条边回环了");
			}
		}
		System.out.println("权值总和:" + sum);
		printArray(parent);
	}

	private int find(int[] parent, int f) {
		// 找到当前f节点的父节点的父节点.....(以此类推)的下标
		while (parent[f] > 0) {
			System.out.println("找到起点:" + f);
			f = parent[f];
			System.out.println("找到终点:" + f);
		}
		return f;// 返回的这个代表当前f暂时还没有了父节点
	}

	// (3)
	public static void printArray(int[] array) {
		System.out.print("{");
		for (int i = 0; i < array.length; i++) {
			System.out.print(array[i]);
			if (i < array.length - 1) {
				System.out.print(", ");
			}
		}
		System.out.println("}");
	}

	public static void main(String[] args) {
		GraphKruskal2 kruskal = new GraphKruskal2(15);
		kruskal.createEdgeArray();
		kruskal.kruskal();
	}
}

  

转载于:https://www.cnblogs.com/Booker808-java/p/8827283.html

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