Unique Paths 寻找从起点到终点的路径个数

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

移动的方向只能是向下，向右。这类的问题，我一般会选择取小一点的数进行模拟。

比如一个2 * 2的 board。

我们假设有一个跟原来board一样大小的数组，用来存储能到达i, j 位置的路径的个数。

当i = 0, j = 0的时候，显然只有一种，

当i = 0, j = 1的时候，只有经过i = 0, j = 0 过来的路径，也是1

当i = 1, j = 0的时候，只有经过i = 0, j = 0的路径，也是1

当i = 1，j = 1的时候，为了走到这个位置，可以从i = 0, j = 1走过来，也可以从i = 1, j = 0走过来。

             所以结果是1 + 1 = 2。

再假设我们有一个2 * 3的board。

同样经过先前的模拟，我们可以得到能到达地i, j位置的路径个数。

最后，我们可以得到最终的推导。

1. 到达board x = 0 或 y = 0这些边缘位置的路径的个数是 1。

2. 到达board x > 1且 y > 1这些中间位置的路径的个数是：能到它左边的路径的个数 + 能到它上面的路径的个数。

这就是一个动态规划（dynamic programming）的思路！

运行时间：

代码：

public class UniquePaths {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if (m == 0 || n == 0) {
            return 0;
        }
        int[][] cache = new int[m][n];
        //edges cases
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            cache[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            cache[0][j] = 1;
        }
        //border cases
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                cache[i][j] = cache[i][j - 1] + cache[i - 1][j];
            }
        }
        return cache[m - 1][n - 1];
    }
}