动态规划之硬币面值组合问题

原文链接：http://www.cnblogs.com/python27/archive/2013/09/05/3303721.html

问题描述
　　假设我们有8种不同面值的硬币｛1，2，5，10，20，50，100，200｝，用这些硬币组合够成一个给定的数值n。例如n=200，那么一种可能的组合方式为 200 = 3 * 1 + 1＊2 + 1＊5 + 2＊20 + 1 * 50 + 1 * 100. 问总过有多少种可能的组合方式？ (这道题目来自著名编程网站ProjectEuler, 点击这里查看原题目) 类似的题目还有：

　　[华为面试题] 1分2分5分的硬币三种，组合成1角，共有多少种组合？

　　[创新工厂笔试题] 有1分，2分，5分，10分四种硬币，每种硬币数量无限，给定n分钱，有多少中组合可以组成n分钱？

问题分析

　　给定一个数值sum，假设我们有m种不同类型的硬币{V1, V2, …, Vm}，如果要组合成sum，那么我们有

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + xm * Vm

求所有可能的组合数，就是求满足前面等值的系数{x1, x2, …, xm}的所有可能个数。

　　[思路1] 当然我们可以采用暴力枚举，各个系数可能的取值无非是x1 = {0, 1, …, sum / V1}, x2 = {0, 1, …, sum/ V2}等等。这对于硬币种类数较小的题目还是可以应付的，比如华为和创新工厂的题目，但是复杂度也很高O（sum/V1 * sum/V2 * sum/V3 * …）

　　[思路2] 从上面的分析中我们也可以这么考虑，我们希望用m种硬币构成sum，根据最后一个硬币Vm的系数的取值为无非有这么几种情况，xm分别取｛0, 1, 2, …, sum/Vm｝，换句话说，上面分析中的等式和下面的几个等式的联合是等价的。

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + 0 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + 1 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + 2 * Vm

…

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + K * Vm

　　其中K是该xm能取的最大数值K = sum / Vm。可是这又有什么用呢？不要急，我们先进行如下变量的定义：

dp[i][sum] = 用前i种硬币构成sum 的所有组合数。

　　那么题目的问题实际上就是求dp[m][sum]，即用前m种硬币（所有硬币）构成sum的所有组合数。在上面的联合等式中：当xn=0时，有多少种组合呢？ 实际上就是前i-1种硬币组合sum，有dp[i-1][sum]种！ xn = 1 时呢，有多少种组合？ 实际上是用前i-1种硬币组合成(sum - Vm)的组合数，有dp[i-1][sum -Vm]种; xn =2呢， dp[i-1][sum - 2 * Vm]种，等等。所有的这些情况加起来就是我们的dp[i][sum]。所以：

dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm]

• dp[i-1][sum - 2*Vm] + … + dp[i-1][sum - K*Vm]; 其中K = sum / Vm

  　　换一种更抽象的数学描述就是：

  　　通过此公式，我们可以看到问题被一步步缩小，那么初始情况是什么呢？如果sum=0，那么无论有前多少种来组合0，只有一种可能，就是各个系数都等于0；

dp[i][0] = 1 // i = 0, 1, 2, … , m

　　如果我们用二位数组表示dp[i][sum], 我们发现第i行的值全部依赖与i-1行的值，所以我们可以逐行求解该数组。如果前0种硬币要组成sum，我们规定为dp[0][sum] = 0.