SDOI2019 总结

6423【SDOI2019】快速查询

标记维护序列信息，$Add,Mul,Sum,Ans$

$Hash$表维护单点信息，注意转换：

$a[x]=Mul\cdot val+Add$

$\therefore val=\frac{a[x]-Add}{Mul}$

逆元用线性递推求

每个操作复杂度$O(1)$，总复杂度$O(q\cdot t)$

6426【SDOI2019】热闹的聚会与尴尬的聚会

观察两个式子，可以写成：$(p+1)(q+1)\ge n+1$

考虑两次贪心：

先求$q$，考虑最大独立点集：

• 每次找到图中度数最小的点
• 将这个点加入$q$
• 删掉这个点以及和它相邻的点

对于$p$，记录$min\_d$表示每次开始操作时，图中最小的度数（注意到$min\_d=d[q_i]$）。当$min\_d$取到最大值时，当前图中所有点都属于$p$

简易证明：

• 对于求$q$的算法，显然$\sum (d[q_i]+1)=n$（每次删$d[q_i]+1$个点，$q$次操作删完所有点）
• 根据求$p$的方法，$p=max\{d[q_i]\}$

$(q+1)(p+1)=(q+1)(max\_d+1)\ge q\cdot (max\_d+1)\ge \sum (d[q_i]+1)=n$

$\therefore (q+1)(p+1)\ge n$

6427【SDOI2019】移动金币

博弈论+计数$dp$

博弈为阶梯博弈，结论：第奇数个空格的长度的异或和不为0，则必胜

容斥，总数-必败=必胜，必败即为异或和=0

相当于把$n-m$个空格分到$m+1$个空段里（$n$个位置，$m$个金币，$n-m$个空格，$m+1$个空段），其中第奇数个空段的异或和为$0$

由于是异或，考虑一位一位地运算，设$f[i][j]$表示处理到了第$i$位(二进制)，还有$j$个空格可以放

$f[i][j]={\sum }_{2|k}f[i+1][j-k\cdot 2^i]$

意义：只考虑第$i$位，那么只要放偶数个$1$，异或和都为$0$

统计答案：$ans=\sum f[0][i]\cdot Place(i,\frac{m+2}{2})$

其中$Place(i,\frac{m+2}{2})$表示把剩下的$i$个空格随便丢到第偶数个格子（$\frac{m+2}{2}$个）里，可以使用隔板法$Place(n,m)=C_{n+m-1}^{n-1}$