【论文 Frost1972】An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Processing

经典的Frost beamformer,也叫线性约束最小方差(LCMV)滤波

概括

【论文 Frost1972】An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Processing_第1张图片

如上图所示,假设目标信号从线性阵列的宽边方向传入,noise以及inference从其它方向传入,取最近的J个数据,在理想远场模型下,,每个时刻各个阵元接收到的目标信号相同,噪声在每个阵元的信号不同(非宽边注视方向输入),将每个时刻的信号加权求和,得到上图中下部分的等效模型,即最终输出为一个加权求和得到的FIR滤波器
等效结构如下

y(t)=k=1Kj=0J1ak,jxk(tj)

约束的最优LMS权向量
实际处理问题模型如下
【论文 Frost1972】An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Processing_第2张图片
K个阵元,J个快拍,在J个快拍延迟线的delta时间内,将总共K*J个采样值展开成如下向量
这里写图片描述
加性噪声模型下
这里写图片描述
同一时刻各阵元接手的目标信号相同,则(1)式中
【论文 Frost1972】An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Processing_第3张图片
这里写图片描述

定义各个快拍的权值W以及各相关矩阵如下
这里写图片描述
【论文 Frost1972】An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Processing_第4张图片

最小化阵列输出功率表示如下
【论文 Frost1972】An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Processing_第5张图片

约束条件
这里写图片描述

(6)式表示fig2中第 j 个垂直列中的权值加权求和等于 fj cj 用向量表示如下
【论文 Frost1972】An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Processing_第6张图片

可以看出 cj 第j组全为1,其它项全为0,与W相乘即将第 j 列的权值相加

矩阵表示:
定义C、F如下
【论文 Frost1972】An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Processing_第7张图片
【论文 Frost1972】An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Processing_第8张图片

则约束条件用矩阵表示为

这里写图片描述

约束条件(10)意思是1,2……J时刻下的各K个阵元的权值相加,结果风别等于 f1 , f2 …… fJ ,这个 F 即为想要对目标信号进行滤波的FIR系数

带约束条件的目标函数如下
【论文 Frost1972】An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Processing_第9张图片

利用拉格朗日乘子法求得最终的方程解为
这里写图片描述

系统输出为

这里写图片描述

闭式解的计算量较大,方程解里面的 C 大小为KJ*J,Rxx大小为KJ*KJ,假设K = 7,J = 20,则方程需要对140*140矩阵求逆,实时应用有困难,论文中提出了一种基于LMS的递推方法,递推公式为
【论文 Frost1972】An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Processing_第10张图片

其中
这里写图片描述
这里写图片描述

根据这个递推公式即可完成系数的更新计算。

原论文是在时域实现,该算法也可在频域实现,在频域对每一个频点都进行系数计算,同时以帧为单位进行同样的递推更新。

参考:

[1] Frost, O. “An Algorithm For Linearly Constrained Adaptive Array Processing”, Proceedings of the IEEE. Vol. 60, Number 8, August, 1972, pp. 926–935.

你可能感兴趣的:(Microphone,Array,数字信号处理,音频处理)