【论文 Frost1972】An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Processing

经典的Frost beamformer，也叫线性约束最小方差（LCMV）滤波

概括

如上图所示，假设目标信号从线性阵列的宽边方向传入，noise以及inference从其它方向传入，取最近的J个数据，在理想远场模型下，，每个时刻各个阵元接收到的目标信号相同，噪声在每个阵元的信号不同（非宽边注视方向输入），将每个时刻的信号加权求和，得到上图中下部分的等效模型，即最终输出为一个加权求和得到的FIR滤波器
等效结构如下

y(t)=∑k=1K∑j=0J−1ak,jxk(t−j)

约束的最优LMS权向量
实际处理问题模型如下

K个阵元，J个快拍，在J个快拍延迟线的delta时间内，将总共K*J个采样值展开成如下向量

加性噪声模型下

同一时刻各阵元接手的目标信号相同，则（1）式中

定义各个快拍的权值W以及各相关矩阵如下

最小化阵列输出功率表示如下

约束条件

（6）式表示fig2中第 j 个垂直列中的权值加权求和等于 fj ， cj 用向量表示如下

可以看出 cj 第j组全为1，其它项全为0，与W相乘即将第 j 列的权值相加

矩阵表示：
定义C、F如下

则约束条件用矩阵表示为

约束条件（10）意思是1,2……J时刻下的各K个阵元的权值相加，结果风别等于 f1 , f2 …… fJ ，这个 F 即为想要对目标信号进行滤波的FIR系数

带约束条件的目标函数如下

利用拉格朗日乘子法求得最终的方程解为

系统输出为

闭式解的计算量较大，方程解里面的 C 大小为KJ*J,Rxx大小为KJ*KJ，假设K = 7，J = 20,则方程需要对140*140矩阵求逆，实时应用有困难，论文中提出了一种基于LMS的递推方法，递推公式为

其中

根据这个递推公式即可完成系数的更新计算。

原论文是在时域实现，该算法也可在频域实现，在频域对每一个频点都进行系数计算，同时以帧为单位进行同样的递推更新。

参考：

[1] Frost, O. “An Algorithm For Linearly Constrained Adaptive Array Processing”, Proceedings of the IEEE. Vol. 60, Number 8, August, 1972, pp. 926–935.