【编程之美】买书问题 - 动态规划

一，问题

上柜的《哈利波特》平装本系列，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：

本数2 折扣 5%

本数3折扣 10%

本数4折扣 20%

本数 5 折扣25%

问题：设计出算法，能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。

二，问题分析：

优化问题就用动态规划、贪心算法、分支限界轮番狂轰乱炸！！直到找到最优解！！

贪心策略

当书的数目N<5时，直接按照折扣购买

当书的数目N>5时，情况如下：

依此可以穷举出每一种组合的情况，对于任意一种情况(i,j,k,m,n)进行分析

先找出是所有书中5种不同的书，如果有则按照5本书折扣价购买

其次找出剩余书中所有4种书，如果有则按照4本书的折扣价购买

再找出剩余书中所有3种书，如果有则按照3本书的折扣价购买

最后在剩余书中找出所有2种书，如果有则按照2本书的折扣价购买

剩下的书则按照全价购买。

如果按照这种方法（贪心法）存在反例，比如买8本书时，可以拆成5+3，折扣为1.55；也可以拆成4+4，折扣为1.6 这种两种情况组合中都包括，通过选择一个折扣最低的可以排除掉第一种情况。

结论：贪心策略不可取

动态规划

要用动态规划解答首先要找到，动态规划的递归公式，因为动态规划是自顶向下层层递归，然后自底向下层层解答！最后根据底层结论求解最后结果。

五卷书的价格相同都是8欧元，所以购买（1，0，0，0，0）跟（0，1，0，0，0）效果一样。这里就可以简化为，让所购买书按照本书递增（递减），从而方便讨论。

要处理的参数为购买每种卷的个数，所以递归一定跟这五个参数相关。可以把参数按照从小到大顺序排列。讨论不为0的参数的个数，从而求出所有可能的折扣种类。然后从当前折扣种类中取价格最小值。

（X1,X2,X3,X4,X5）代表购买每卷的个数，F（X1，X2，X3，X4，X5）代表最低价格。X1 < X2 < X3 < X4 < X5

F（X1，X2，X3，X4，X5）=0 ；当所有参数都为0的情况（这也是退出递归的出口）

F（X1，X2，X3，X4，X5）= min{

5*8*(1-25%) +F（X1-1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1） //参数全部 > 0

4*8*(1-20%) +F（X1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1） //x2 > 0

3*8*(1-10%) +F（X1，X2，X3-1，X4-1，X5-1） //x3 > 0

2*8*(1-5%) +F（X1，X2，X3，X4-1，X5-1） //x4 > 0

8 +F（X1，X2，X3，X4，X5-1） //x5 > 0

}

三，动态规划源码：

源码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int larg = 100000;//定义一个最大值，相当于取最小值时忽略这个位置的值

template 
void rerank(T  m[],int length)//冒泡排序
 {            
            for (int i = length-1; i >0; i--)
            {
                for (int j = 0; j < i; j++)
                {
                    if (m[j]>m[j +1])
                    {
                        T temp;
                        temp = m[j + 1];
                        m[j + 1] = m[j];
                        m[j] = temp;
                    }
                }
            }
 }

 double Min(double a, double b, double c, double d, double e)//返回最小值
 {
            double nn[5]={a,b,c,d,e};           
            rerank(nn,5);
            
            return nn[0];
 }
    
double find_BestSol(int x1, int x2, int x3, int x4, int x5)//动态规划（递归实现）
{
            int n[5] ={ x1, x2, x3, x4, x5 };
            rerank(n,5);//对n进行从小到大排序
            x1 = n[0];
            x2 = n[1];
            x3 = n[2];
            x4 = n[3];
            x5 = n[4];
            /* x1 < x2 < x3 < x4  < x5*/
            if (n[0] > 0)//最小的都大于0；则所有卷数都大于0；然后将所有可能折扣罗列出来，返回最小值
            {
                return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
                                       2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
                                       3 * 8 * 0.9 + find_BestSol(x1, x2, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),
                                       4 * 8 * 0.8 + find_BestSol(x1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),
                                       5 * 8 * 0.75 + find_BestSol(x1 - 1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1));

            }
            else if ((n[0] == 0) && (n[1] > 0))
            {
                return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
                                    2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
                                    3 * 8 * 0.9 + find_BestSol(x1, x2, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),
                                    4 * 8 * 0.8 + find_BestSol(x1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1), larg);

            }
            else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] > 0))
            {
                return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
                                    2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
                                    3 * 8 * 0.9 + find_BestSol(x1, x2, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),
                                    larg, larg);
            }
            else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] > 0))
            {
                return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
                                    2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
                                    larg, larg, larg);
            }
            else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] == 0) && (n[4] > 0))
            {
                return 8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1);
            }
            else//都为0
            {
                return 0;
            }
        }
  
int  main()
{
       //int n1[5] = {3,4,2,1,0};
       int n1[5] = {2,2,2,1,1};
       double solution = find_BestSol(n1[0],n1[1],n1[2],n1[3],n1[4]);
       cout<<"所花费的最少的钱为："<