python_主成分分析(PCA)降维

主成分分析（principal component analysis）是一种常见的数据降维方法，其目的是在“信息”损失较小的前提下，将高维的数据转换到低维，从而减小计算量。

　　PCA的本质就是找一些投影方向，使得数据在这些投影方向上的方差最大，而且这些投影方向是相互正交的。这其实就是找新的正交基的过程，计算原始数据在这些正交基上投影的方差，方差越大，就说明在对应正交基上包含了更多的信息量。后面会证明，原始数据协方差矩阵的特征值越大，对应的方差越大，在对应的特征向量上投影的信息量就越大。反之，如果特征值较小，则说明数据在这些特征向量上投影的信息量很小，可以将小特征值对应方向的数据删除，从而达到了降维的目的。

　　PCA的全部工作简单点说，就是对原始的空间中顺序地找一组相互正交的坐标轴，第一个轴是使得方差最大的，第二个轴是在与第一个轴正交的平面中使得方差最大的，第三个轴是在与第1、2个轴正交的平面中方差最大的，这样假设在N维空间中，我们可以找到N个这样的坐标轴，我们取前r个去近似这个空间，这样就从一个N维的空间压缩到r维的空间了，但是我们选择的r个坐标轴能够使得空间的压缩使得数据的损失最小。

　　因此，关键点就在于：如何找到新的投影方向使得原始数据的“信息量”损失最少？

1.样本“信息量”的衡量

　　样本的“信息量”指的是样本在特征方向上投影的方差。方差越大，则样本在该特征上的差异就越大，因此该特征就越重要。以《机器学习实战》上的图说明，在分类问题里，样本的方差越大，越容易将不同类别的样本区分开。

　　图中共有3个类别的数据，很显然，方差越大，越容易分开不同类别的点。样本在X轴上的投影方差较大，在Y轴的投影方差较小。方差最大的方向应该是中间斜向上的方向（图中红线方向）。如果将样本按照中间斜向上的方向进行映射，则只要一维的数据就可以对其进行分类，相比二维的原数据，就相当降了一维。

       在原始数据更多维的情况下，先得到一个数据变换后方差最大的方向，然后选择与第一个方向正交的方向，该方向是方差次大的方向，如此下去，直到变换出与原特征个数相同的新特征或者变换出前N个特征（在这前N个特征包含了数据的绝大部分信息），简而言之，PCA是一个降维的过程，将数据映射到新的特征，新特征是原始特征的线性组合。

2.计算过程（因为插入公式比较麻烦，就直接采用截图的方式）

在PCA的实现过程中，对协方差矩阵做奇异值分解时，能得到S矩阵（特征值矩阵）。

实际使用

用sklearn封装的PCA方法，做PCA的代码如下。PCA方法参数n_components，如果设置为整数，则n_components=k。如果将其设置为小数，则说明降维后的数据能保留的信息。

from sklearn.decomposition import PCA
import numpy as np
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

x=np.array([[10001,2,55], [16020,4,11], [12008,6,33], [13131,8,22]])

# feature normalization (feature scaling)
X_scaler = StandardScaler()
x = X_scaler.fit_transform(x)

# PCA
pca = PCA(n_components=0.9)# 保证降维后的数据保持90%的信息
pca.fit(x)
pca.transform(x)

所以在实际使用PCA时，我们不需要选择k，而是直接设置n_components为float数据。

总结

PCA主成分数量k的选择，是一个数据压缩的问题。通常我们直接将sklearn中PCA方法参数n_components设置为float数据，来间接解决k值选取问题。 
但有的时候我们降维只是为了观测数据（visualization），这种情况下一般将k选择为2或3。

参数说明：

n_components:  

意义：PCA算法中所要保留的主成分个数n，也即保留下来的特征个数n

类型：int 或者 string，缺省时默认为None，所有成分被保留。

          赋值为int，比如n_components=1，将把原始数据降到一个维度。

          赋值为string，比如n_components='mle'，将自动选取特征个数n，使得满足所要求的方差百分比。

copy:

类型：bool，True或者False，缺省时默认为True。

意义：表示是否在运行算法时，将原始训练数据复制一份。若为True，则运行PCA算法后，原始训练数据的值不            会有任何改变，因为是在原始数据的副本上进行运算；若为False，则运行PCA算法后，原始训练数据的              值会改，因为是在原始数据上进行降维计算。

whiten:

类型：bool，缺省时默认为False

意义：白化，使得每个特征具有相同的方差。关于“白化”，可参考：Ufldl教程

2、PCA对象的属性

components_ ：返回具有最大方差的成分。

explained_variance_ratio_：返回 所保留的n个成分各自的方差百分比。

n_components_：返回所保留的成分个数n。

mean_：

noise_variance_：

3、PCA对象的方法

• fit(X,y=None)

fit()可以说是scikit-learn中通用的方法，每个需要训练的算法都会有fit()方法，它其实就是算法中的“训练”这一步骤。因为PCA是无监督学习算法，此处y自然等于None。

fit(X)，表示用数据X来训练PCA模型。

函数返回值：调用fit方法的对象本身。比如pca.fit(X)，表示用X对pca这个对象进行训练。

• fit_transform(X)

用X来训练PCA模型，同时返回降维后的数据。

newX=pca.fit_transform(X)，newX就是降维后的数据。

• inverse_transform()

将降维后的数据转换成原始数据，X=pca.inverse_transform(newX)

• transform(X)

将数据X转换成降维后的数据。当模型训练好后，对于新输入的数据，都可以用transform方法来降维。

此外，还有get_covariance()、get_precision()、get_params(deep=True)、score(X, y=None)等方法，以后用到再补充吧。

3.python实现

 下面介绍Sklearn中PCA降维的方法。
        导入方法：

 from sklearn.decomposition import PCA

        调用函数如下，其中n_components=2表示降低为2维。

 pca = PCA(n_components=2)

        例如下面代码进行PCA降维操作：

 import numpy as np
 from sklearn.decomposition import PCA
 X = np.array([[-1, -1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]])
 pca = PCA(n_components=2)
 print pca
 pca.fit(X)
 print(pca.explained_variance_ratio_)

        输出结果如下所示：

 PCA(copy=True, n_components=2, whiten=False)
 [ 0.99244291  0.00755711]

        再如载入boston数据集，总共10个特征，降维成两个特征：

 #载入数据集
 from sklearn.datasets import load_boston
 d = load_boston()
 x = d.data
 y = d.target
 print x[:10]
 print u'形状:', x.shape

 #降维
 import numpy as np
 from sklearn.decomposition import PCA
 pca = PCA(n_components=2)
 newData = pca.fit_transform(x)
 print u'降维后数据:'
 print newData[:4]
 print u'形状:', newData.shape

        输出结果如下所示，降低为2维数据。

 [[  6.32000000e-03   1.80000000e+01   2.31000000e+00   0.00000000e+00
     5.38000000e-01   6.57500000e+00   6.52000000e+01   4.09000000e+00
     1.00000000e+00   2.96000000e+02   1.53000000e+01   3.96900000e+02
     4.98000000e+00]
  [  2.73100000e-02   0.00000000e+00   7.07000000e+00   0.00000000e+00
     4.69000000e-01   6.42100000e+00   7.89000000e+01   4.96710000e+00
     2.00000000e+00   2.42000000e+02   1.78000000e+01   3.96900000e+02
     9.14000000e+00]
  [  2.72900000e-02   0.00000000e+00   7.07000000e+00   0.00000000e+00
     4.69000000e-01   7.18500000e+00   6.11000000e+01   4.96710000e+00
     2.00000000e+00   2.42000000e+02   1.78000000e+01   3.92830000e+02
     4.03000000e+00]
  [  3.23700000e-02   0.00000000e+00   2.18000000e+00   0.00000000e+00
     4.58000000e-01   6.99800000e+00   4.58000000e+01   6.06220000e+00
     3.00000000e+00   2.22000000e+02   1.87000000e+01   3.94630000e+02
     2.94000000e+00]]
 形状: (506L, 13L)
 降维后数据:
 [[-119.81821283    5.56072403]
  [-168.88993091  -10.11419701]
  [-169.31150637  -14.07855395]
  [-190.2305986   -18.29993274]]
 形状: (506L, 2L)