【蓝桥杯】 历届试题 数字游戏（数列）

历届试题 数字游戏

问题描述
栋栋正在和同学们玩一个数字游戏。
游戏的规则是这样的：栋栋和同学们一共n个人围坐在一圈。栋栋首先说出数字1。接下来，坐在栋栋左手边的同学要说下一个数字2。再下面的一个同学要从上一个同学说的数字往下数两个数说出来，也就是说4。下一个同学要往下数三个数，说7。依次类推。
为了使数字不至于太大，栋栋和同学们约定，当在心中数到 k-1 时，下一个数字从0开始数。例如，当k=13时，栋栋和同学们报出的前几个数依次为：
1, 2, 4, 7, 11, 3, 9, 3, 11, 7。
游戏进行了一会儿，栋栋想知道，到目前为止，他所有说出的数字的总和是多少。

输入格式
　　输入的第一行包含三个整数 n,k,T，其中 n 和 k 的意义如上面所述，T 表示到目前为止栋栋一共说出的数字个数。
输出格式
　输出一行，包含一个整数，表示栋栋说出所有数的和。

样例输入：3 13 3 样例输出：17

样例说明：栋栋说出的数依次为1, 7, 9，和为17。
数据规模和约定：1 < n,k,T < 1,000,000；

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分析：
我们看一下报数时会出现的数字（不做取余处理，上面是报数，下面是差值）：

1  	2  	4  	7  	11	 16	  22    29	  37	46	……			
  1	  2	  3	  4	   5    6	  7	    8	 9	 ……

我们单独看一下栋栋的报数： 1 7 22 46……
不难发现这些数据服从以下规律：

 1 
 1 + （ 1 + 2 + 3 ） = 7
 1 + （ 1 + 2 + 3 ） + （ 4 +5 + 6 )  =  22

由此可以得到栋栋报数的一个通项公式：num = 1 + n (n+1) / 2 （其中n表示栋栋报数时对应的序号-1，显然n取值是：0,3,6,9,……）

知道了通项公式，以及总的循环次数，直接循环求和就是
但是，这样的下场是：拿不到满分
为什么？
仔细看题，T和k的取值最大会接近100 0000，这时候如果仅仅只是利用上面的这个公式来求每次的报数num并求和然后再取余，则num总会在某个值时发生溢出现象（num的数量级极限会取到100 0000^4,显然溢出了long long），这时后面所有的num都将错误。所以这个方案是不可行的

为了避免这个溢出问题，我们应该想到利用前一次num的数值与下一次num的数值之间的差值来完成对num的变化，即利用这个差值来实现数据的更新（因为这之间的差值不会超过long long）
于是我们需要来推算一下（或者说来求出）这个差值量与序数n的关系，即求出这个函数。我们假设，有N个同学参与数字游戏，那么对于一个周期(N)而言
栋栋两次报数的差值是一个关于n的函数：
△x=1+(n+N) [(n+N)+1] / 2 - [ 1+n(n+1) / 2 ] = N(N+2*n+1)/2
这样就可以利用上面的公式，通过上一次num的值，用加法来把下一次的num计算出来，然后取余，叠加到sum中（这样显然是不会产生数据溢出的现象的）

下面给出本题的完整代码：

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#include
using namespace std;
int main()
{
	int n,k,T;
	cin>>n>>k>>T;
	long long sum=0,i=0,x=1;//sum是最后的总和，i是东东报数时的序号（从0开始），x是第i-1次东东报数后取余再加上第i-1到第i次之间的差值的值 （即第i次的值）
	while(T--)
	{ 
		sum+=x;
		x+=(n+2*i+1)*n/2;  
		x%=k;
		i+=n;
	}
	cout<<sum<<endl; 
	return 0;
}