树上差分小结

这是一个把差分思想运用到树上的优秀技巧，他和差分数组很像，常数小，还好写，并且思想也很简单。

点差分

树上有两种东西，点和边，他们都可以带权，所以自然也就有两种不同的差分方式来维护他们。

设 $val[x]$ 表示点 $x$ 的权值，$b[x]$ 表示 $x$ 处差分数组的权值，他们的关系为 $val[x]={\sum }_{y\in x}b[y]$，其中，$y\in x$ 表示 $y$ 在 $x$ 的子树内（$x$ 也在自己的子树内）。

虽然差分的对象有点模糊，但是有了这样的关系式后，发现做修改是很方便的。

比如说要让树上 $x$ 到 $y$ 路径上的点权值 $+1$，设 $lca$ 为 $x$ 和 $y$ 的最近公共祖先，以及设 $fa$ 为 $lca$ 的父亲节点，那么只需要让 $b[x]$ 和 $b[y]$ 加一，然后让 $b[lca]$ 和 $b[fa]$ 减一即可，因为可以发现，一个节点的 $b$ 的改变，只会影响到该节点到根节点路径上的点的 $val$。

边差分

可以发现，每一条边连接着一个父亲和一个儿子，可能有多条边连接同一个父亲，但是每条边肯定只对应一个儿子，于是我们不妨将每条边的 $b$ 放到自己对应的儿子上。

那么修改时，类似的，让 $b[x]$ 和 $b[y]$ 加一，然后让 $b[lca]$ 减二即可。

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例题

很显然，每条路线相当于给树上的一条路径上的每个点权值 $+1$，然后找出权值最大的点即可。

代码如下：

#include 
#include 
using namespace std;
#define maxn 100010

int n,m;
struct edge{int y,next;}e[maxn<<1];
int first[maxn],len=0;
void buildroad(int x,int y){e[++len]=(edge){y,first[x]};first[x]=len;}
int f[maxn][20],b[maxn],deep[maxn];
void dfs(int x,int fa)
{
	f[x][0]=fa;deep[x]=deep[fa]+1;
	for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
	if(e[i].y!=fa)dfs(e[i].y,x);
}
int lca(int x,int y)
{
	if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
	for(int i=19;i>=0;i--)if(deep[f[y][i]]>=deep[x])y=f[y][i];
	if(x!=y){for(int i=19;i>=0;i--)if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];x=f[x][0];}return x;
}
int ans=0;
void get_ans(int x){
	for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
	if(e[i].y!=f[x][0]){get_ans(e[i].y);b[x]+=b[e[i].y];ans=max(ans,b[x]);}
}

int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);for(int i=1,x,y;i<n;i++)
	scanf("%d %d",&x,&y),buildroad(x,y),buildroad(y,x);dfs(1,0);
	for(int j=1;j<=19;j++)for(int i=1;i<=n;i++)f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
	for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++)scanf("%d %d",&x,&y),z=lca(x,y),b[x]++,b[y]++,b[z]--,b[f[z][0]]--;
	get_ans(1);printf("%d",ans);
}

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