分治法面试题（一）：矩形覆盖

关于分治法

　　分治法，分而治之。就是将原问题划分为n个规模较小，结构与原问题类似的小问题进行处理，递归地解决这些问题，然后再合并求解的过程。

　　分治法在解决的流程上分为三个步骤：

　　1.分解：将原问题划分为n个规模较小，结构与原问题类似的小问题。

　　2.解决：若子问题规模小，足以处理，则求解，否则继续递归处理。

　　3.合并：将子问题的解，合并成为原问题的解。

面试题：矩形覆盖

　　我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用number个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*number的大矩形，总共有多少种方法？

　　分析：我们化繁为简，从下面的示例说起（设该问题的处理函数为rectCover）。

　　由于小矩形的尺寸是2×1，所以有大矩形为2×number的存在，那么我们第一步就可以有两种处理方式：

　　第一步如果选择竖方向填充，那么该问题的规模就缩减为对于剩余的2×（number-1）的大矩形的填充。

　　如果，第一步如果选择横方向的填充，则第二排的前面两个小矩形也只能如此填充，那么该问题的规模就缩减为对于剩余的2×（number-2）的大矩形的填充.

　　结合上述分析，很容易得到递推的关系： rectCover(number)=rectCover(number-1)+rectCover(number-2)。当然此处也要注意递归跳出条件的判定。

　　下面是对应的算法

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int rectCover(int number) {
 4     if(number<=0) return 0;
 5         if(number==1) return 1;
 6         if(number==2) return 2;
 7         else
 8             return rectCover(number-1)+rectCover(number-2);
 9     }
10 };

　　当然，递归的实现必须借助栈，而且存在很多重复计算的数据。不妨取number=5，递推的过程如下。可以看出rectCover(3)计算2次，rectCover(2)计算3次，rectCover(1)计算2次。所以递归的效率比较低下，下篇 动态规划法面试题（一）：矩形覆盖会继续探讨这个问题，给出另一种“高效”的解法。

 

　　

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