斐波那契数的皮萨诺周期

斐波那契数的皮萨诺周期

• fibonacci数为f0=0, f1=1, fi = f(i-1)+f(i-2)
• pisano period指的是一个序列对n取模后的周期
• fibonacci的周期性明显可见
  • 对2取模结果为：0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
  • fibonacci对3取模结果为：0 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1
• 此性质在用于计算超大fibonacci数时非常有用，以下为数个例子

fibonacci序列之和的最低位

• 首先计算出模10的pisano period，再根据周期性求解

  int pisano(long long n, long long m, vector& v){
      long long a = 0;
      long long b  = 1;
  
      v.push_back(0);
      v.push_back(1);
      for (int i = 2; i <= n; ++i) {
          long long t = b;
          b = a + b;
          a = t;
          b %= m;
  
          v.push_back(b);
  
          if(i & 1 == 1){
              int r = (i >> 1) + 1;
              int j = 0, k = r;
  
              /* for(auto e:v)
                  cout << e << ' ';
              cout << endl; */
  
              for(; k <= i; j++, k++){
                  if(v[j] != v[k])
                      break;
              }
              //cout << k << ' ' << i << endl;
              if(k == i+1)
                  return r;
          }
      }
      return 0;
  }
  
  
  long long fibonacci_sum_best(long long n) {
      if (n <= 1)
          return n;
  
      vectorv;
      int p = pisano(n, 10, v);
      // for(auto e:v)
          // cout << e << ' ';
      // cout << endl;
  
      // cout << "get pisano " << n << " " << p << endl;
  
      if(p == 0)
          return accumulate(v.begin(), v.end(), 0) % 10;
      else{
          int period_sum = accumulate(v.begin(), v.end(), 0) % 10;
          int c = n / p;
          int sum = accumulate(v.begin(), v.begin() + (n % p) + 1, 0) + period_sum * c;
          return sum % 10;
      }
  }
  

作者Focustc，来自于 CSDN