高数第七版_习题解答_3-1行列式习题

习题3-1行列式问题解析

已知$f(x),g(x)$连续可导，证明
$$\left(\begin{array}{cc}f(a)& f(b)\\ g(a)& g(b)\end{array}\right)=(b-a)\left(\begin{array}{cc}f(a)& f^{\prime }(\xi )\\ g(a)& g^{\prime }(\xi )\end{array}\right)$$
分析：注意行列式的定义和运算法则：
$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ab-cd$$
原题即证：
$$f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g^{\prime }(\xi )-f^{\prime }(\xi )g(a))$$
整理:
$$\frac{f(a)g(b)-f(b)g(a)}{b-a}=f(a)g^{\prime }(\xi )-f^{\prime }(\xi )g(a)$$
注意：$\xi$ 即对应辅助函数中的 $x$. 那么容易想到，辅助函数即为：
$$F(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a)$$
对该函数使用一次Lagrange中值定理，即可证明原题结论。

By Dr. Ma