树形DP

今天上课的内容就是树形DP，新来的ldw老师第一次给我们上课，激动~

 

【例题引入】

题目传送门二叉苹果树

题目大意：有一颗二叉树（以1为根节点），每条边上有一些苹果，其中有 N 个节点，（N - 1）条边，现要减去一些边，保留 M 条边，使得剩下的苹果个数最多，求出这个数（洛谷 P2015）

其实我看到题如果不会树形DP的话连暴力都不会打的

这道题很像一道DP题（最优解），但普通的DP肯定是不行的，我们要用树形DP来做

 

【基本思想】

所谓树形DP呢，就是在树上做DP

DP方向有两个：

1. 根--->叶：即从根节点转移到叶节点，这种动态规划在实际的问题中运用的不多 
2. 叶--->根：即根的子节点传递有用的信息给根，然后根得出最优解的过程，这类的题目比较多

树是一种特殊的图，可以描述比较复杂的关系，再加上树的递归定义，是一种非常合适动规的框架，树形动态规划就成为动规中很特殊的一种类型。

我们知道，动态规划类问题必须满足两个性质——最优子结构性质和无后效性，现在将DP转移到树上，（以例题举例）该问题具有明显的最优子结构性质；每个问题都与左右儿子结点有关系，但不与孙子结点发生关系，具备无后效性；且计算方案时，搜索子结构时具备重叠性，可以用动态规划来解决。 

那么和其他的动态规划题目一样，树形DP的解决也要考虑3步：

1. 确立状态：几乎所有的问题都要保存以某结点为根的子树的情况，再根据具体问题考虑加维。
2. 状态转移：状态转移的变化比较多，要根据具体问题具体分析。 
3. 实现方式：记忆化搜索和递推 。

其实只要把状态转移方程写出来一般就问题不大了

 

【例题分析】

本题的权值在边上，不太好用这个信息来解决问题，我们先把问题转换一下，选 M 条边转换成选（M + 1）个点，且必须选择根节点（不然整棵树就没了）

对于一个节点 x，它的左儿子为 lson [ x ]，右儿子为 rson [ x ]

定义 f [ x ][ y ] 表示以 x 为根的子树上保留 y 个节点时的最大苹果数，那答案就是 f [ 1 ][ M + 1 ]

现在我们考虑如何转移

我们假设现在 dp 到以 x 为根节点的子树，它能保留 y 个点，若我们给左儿子 i 个点，那右儿子就只有（y - i - 1）个点（根节点必须要保留），我们只需要枚举 i 就可以了

状态转移方程：f [ x ][ y ] = max { f [ lson [ x ] ] [ i ] + f [ rson [ x ] ][ y - i - 1 ] + a [ i ] } ( 0 ≤ i ≤ y - 1 ) 

初始化：这个DP是从叶节点做到根节点的，因此叶节点初始化为它与它父亲连的边的苹果数，其他节点的初始化为0

这道题中是知道根节点为1，若不知道的话还要枚举根节点，再建树

 

【代码】

好的，上代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=105,M=205;
int n,m,t;
int first[N],v[M],w[M],next[M];
int a[N],lson[N],rson[N],father[N],f[N][N];
bool used[N];
void add(int x,int y,int z)
{
    t++;
    next[t]=first[x];
    first[x]=t;
    v[t]=y;
    w[t]=z;
}
int dp(int x,int y)
{
    if(x==0||y==0)  return 0;
    if(!lson[x]&&!rson[x])  return a[x];
    if(f[x][y]>0)  return f[x][y];
    int i,j;
    for(i=0;i<=y-1;++i)
      f[x][y]=max(f[x][y],dp(lson[x],i)+dp(rson[x],y-i-1)+a[x]);
    return f[x][y];
}
void pre(int root)
{
    int x,i;
    for(i=first[root];i;i=next[i])
    {
        x=v[i];
        if(x==father[root])
          continue;
        father[x]=root;
        if(!lson[root])  lson[root]=x;
        else  rson[root]=x;
        a[x]=w[i];
        if(!used[x])
        {
            used[x]=true;
            pre(x);
        }
    }
}
int main()
{
    int x,y,z,i;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i

 

【一些小知识】

如果题目中要给出一棵树，除了直接说给出一棵树之外，还有以下几种常见说法：

1、有N个点，N-1条边的无向图，任意两顶点间可以相互到达
2、无向图中任意两个点间有且仅有一条路
3、一个点至多有一个前趋，但可以有多个后继
4、无向图中没有环