小朋友学经典算法（8）：求组合数

关于组合的介绍，可以参考小朋友学奥数（12）：组合

一、利用基本公式，递归

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;

ll combination(ll n, ll k)
{
    if(0 == k)
    {
        return 1;
    }

    return combination(n, k - 1) * (n - k + 1)/k;
}

int main()
{
    cout << combination(10, 3) << endl;
    return 0;
}

运行结果：

120

分析：
 C(10, 3)
= C(10, 2） * 8 / 3
= C(10, 1) * 9 * 8 / (3 * 2)
= C(10, 0) * 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1)
= 1 * 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1)
= 120

二、利用基本性质，递归

利用公式C(n, k) = C(n - 1, k) + C(n - 1, k - 1)

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;

ll combination(ll n, ll k)
{
    if(0 == k || n == k)
    {
        return 1;
    }

    if(1 == k)
    {
        return n;
    }

    return combination(n - 1, k) + combination(n - 1, k - 1);
}

int main()
{
    cout << combination(10, 3)<< endl;
    return 0;
}

三、逆元+快速幂解法

（一）基本概念

上面两种方法都使用了递归方法，递归方法有个缺陷，就是在数据较大时效率较低。所以这里要介绍一个种新的求组合算法。在了解此算法之前，要先了解一些概念。

1 同余

同余是数论中的重要概念。
给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)

例1：4 ≡ 9 (mod 5)，即4和9对模5同余

例2：13 ≡ 23（mod 10)，即13和23对模10同余

2 模的加减乘除运算

取模运算的等价变形适合加法、减法、乘法
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p
( a * b) % p = (a % p * b % p) % p

例3：(30 + 40) % 11 = 70 % 11 = 4
(30% 11 + 40%11) % 11 = (8 + 7) % 11 = 15 % 11 = 4

例4：(80 - 20) % 7 = 60 % 7 = 4
(80 % 7 - 20 % 7) % 7 = (3 - 6) % 7 = -3 % 7 = 4 （取模是让商尽可能小，所以这里有 -3 / 7 = -1 …… 4)

例5：(18 * 20) % 7 = 360 % 7 = 3
（18%7 * 20%7）% 7 = （4 * 6）% 7 = 3

但是，取模运算的等价变形不符合除法
a/b % p ≠ (a%p / b%p) % p

例6：（100 % 20）% 11 = 5 % 11 = 5
（100%11 / 20%11) % 11 = (1 / 9) % 11 = 0 % 11 = 0

3 逆元

逆元：对于a和p，若gcd(a, p) = 1（a和p互素）且 a*b%p≡1，则称b为a%p的逆元。

那这个逆元有什么用呢？试想一下求(a / b)%p，如果你知道b%p的逆元是c，那么就可以转变成(a/b)%p = (a/b) * 1 % p = (a / b) * (b* c % p) % p = a*c % p = (a%p) (c%p) % p，这样的话，除法运算就可以转化为乘法运算。

那怎么求逆元呢？这时候就要引入强大的费马小定理！

费马小定理：对于a和素数p，满足a^(p-1) % p ≡ 1

接着因为a^(p−1) = a^(p−2) * a，所以有a^(p−2) * a % p ≡ 1。
对比逆元的定义可得，a^(p−2)就是a的逆元。
所以问题就转换成求解a^(p−2)，即变成求快速幂的问题了。

4 快速幂

这部分的内容可以参考 小朋友学算法（6）：求幂pow函数的四种实现方式 中的第四种方法

（二）逆元 + 快速幂求组合思路

现在目标是求C(n, m) %p，p为素数（经典p=1e9+7）。
虽然有C(n, m) = n! / [m! (n - m)!]，但由于取模的性质对于除法不适用，则有

所以需要利用逆元把“除法”转换成“乘法”，才能借助取模的性质计算组合数。

求解C(n, m)%p的步骤：

（1）通过循环，预先算好所有小于max_number的阶乘（%p）的结果，存到fac[max_number]里 (fac[i] = i! % p)
（2）求m! % p的逆元（即求fac[m]的逆元）：根据费马小定理，x%p的逆元为x^(p−2)， 因此通过快速幂，求解fac[m]^(p−2) % p，记为M
（3）求(n-m)! % p的逆元：同理就是求解fac[n−m]^(p−2) % p，记为NM
（4）C(n, m) % p = ((fac[n] * M) % p * NM) % p

（三） 算法代码

using namespace std;

#define MAX_NUMBER 100000
//快速幂求x^n%mod
long long quick_pow(long long x, long long n, long long mod)
{
    long long res = 1;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
        {
            res = res * x % mod;
        }

        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }

    return res;
}

long long fac[MAX_NUMBER+5];
long long n, m, p;

int main()
{
    while (~scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &p))
    {
        //预处理求fac，fac[i] = i!%p
        fac[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
        }
        //组合数 = n!*(m!%p的逆元)*((n-m)!%p的逆元)%p
        printf("%lld\n", fac[n] * quick_pow(fac[m], p - 2, p) % p * quick_pow(fac[n - m], p - 2, p) % p);
    }
}

运行结果：

10000 5000 100000007
93446621

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