矩阵乘法 x 图的邻接矩阵

邻接矩阵是一种用矩阵形式表示图的方法
那么如果用图的邻接矩阵作矩阵乘法
会有什么神奇的性质呢

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我们假设一个N个结点的无向图
我们用$G[u][v]=G[v][u]=1$表示$u$到$v$有连边，否则$G[u][v]=G[v][u]=0$

如果用这个邻接矩阵自乘会得到什么呢
模拟矩乘的运算有$G^2[u][v]={\sum }_{i=1}^{n}G[u][i]\ast G[i][v]$
也就是说$G^2[u][v]$是表示图上$u$到$v$恰好经过两条边的路径的条数的矩阵

具体点解释
我们可以把原始邻接矩阵$G[u][v]$看作为
表示图上$u$到$v$恰好经过一条边的路径条数的矩阵
那么$G^2[u][v]={\sum }_{i=1}^{n}G[u][i]\ast G[i][v]$显然就是运用了乘法原理与加法原理

再考虑$G^3[u][v]$呢
由$G^3$的计算过程$G^3[u][v]={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{n}G[u][i]\ast G[i][j]\ast G[j][v]$
同理可知其表示为图上$u$到$v$恰好经过三条边的路径条数的矩阵
或者我们也可以将其看作$G^3=G^2\ast G$理解，其本质是相同的

由上述不难发现该性质对于一般的正整数k都是成立的
即$G^k[u][v]$是表示图上$u$到$v$恰好经过K条边的路径条数的矩阵

也就是说
如果需要在某个图上求$u$到$v$恰好经过$K$条边的路径的条数
我们完全可以使用矩阵快速幂来优化这个计算过程

当然，这个性质对于有向图以及有重边的图同样适用
对于有重边的图，把初始矩阵$G[u][v]$改成记录$u,v$之前边的条数即可

有关该性质的应用

BZOJ1898 || 洛谷P2579 [ZJOI2005]沼泽鳄鱼【矩阵DP】

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知道了上述性质之后我们再提出一个拓展性的问题
给定一个N个结点的无向图，求$u$到$v$恰好经过$K$条边的最短路

路径条数改成了求最短路，矩阵乘法是否还适用呢
答案是肯定的，只是我们需要对矩阵乘法的定义稍加修改

$G[u][v]$表示$u$到$v$恰好经过一条边的最短路
那么可以有$G^2[u][v]=Mi{n}_{i=1}^n(G[u][i]+G[i][v])$

对于一般的K，$G^k=G^{k-1}\ast G$显然也是成立的
重新定义之后依然满足结合律，所以快速幂也依然适用

POJ - 3613 Cow Relays

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=500;
int n,m,s,t,tot;
int hh[1000010];
struct node{int a[maxn][maxn];}rem;

node mul(node x,node y)
{
    node ans;
    memset(ans.a,63,sizeof(ans.a));
    for(int k=1;k<=tot;++k)
    for(int i=1;i<=tot;++i)
    for(int j=1;j<=tot;++j)
    ans.a[i][j]=min(ans.a[i][j],x.a[i][k]+y.a[k][j]);
    return ans;
}

node qpow(node a,int k)
{
    node ans=a; k--;
    while(k>0){
        if(k&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        k>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    n=read();m=read();s=read();t=read();
    memset(rem.a,63,sizeof(rem.a));
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
    	int dis=read(),u=read(),v=read();
    	if(!hh[u]) hh[u]=++tot;
    	if(!hh[v]) hh[v]=++tot;
    	if(rem.a[hh[u]][hh[v]]>dis)
    	rem.a[hh[u]][hh[v]]=rem.a[hh[v]][hh[u]]=dis;
    }
    node tt=qpow(rem,n);
    printf("%d",tt.a[hh[s]][hh[t]]);
    return 0;
}

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• 参考文献——俞华程《矩阵乘法在信息学中的应用》