USTC计算数论课程学习记录
文章目录
- 1 大整数因子分解算法
- 1.1 连分数因子分解
- 1.2 二次筛法
- 1.3 数域筛法
- 1.4 Pollard ρ
- 1.5 Pollard p-1
- 1.6 P+1算法
- 1.7 椭圆曲线法
- 2 离散对数
- 2.1 小步大步法
- 2.2 Silver-Hellman-Pholig
- 3 模p开平方
计算数论学习记录，如有错误，欢迎评论区指正。
1 大整数因子分解算法
- 寻找 x 2 ≡ y 2 ( m o d p ) x^2\equiv y^2\ (mod\ p) x2≡y2 (mod p)来分解N。
- 连分数、二次筛法通过寻找 x i 2 ≡ t i ( m o d p ) x_{i}^{2}\equiv t_i (mod\;p) xi2≡ti(modp)，使用组合多个同余式将右边凑成一个平方元
- 数域筛法直接通过寻找平方元计算
∏ ( a , b ) ∈ S ( a + b θ ) = r 2 \prod_{(a,b)\in S}(a+b\theta)=r^2 ∏(a,b)∈S(a+bθ)=r2, ∏ c + b m = x 2 \prod{c+bm}=x^2 ∏c+bm=x2，由同态 ϕ : Z [ θ ] − > Z n \phi: Z[\theta]->Z_n ϕ:Z[θ]−>Zn得到 ϕ ( r ) 2 ≡ x 2 ( m o d m ) {\phi(r)}^2\equiv x^2 (mod\ m) ϕ(r)2≡x2(mod m)，a和b都是y光滑的。
- 通过计算分解n
- Pollard p-1
- Pollard-ρ
- p+1算法
- 椭圆曲线分解法
1.1 连分数因子分解
使用 n \sqrt{n} n的简单连分数展开寻找或组合得到同余式： x 2 ≡ y 2 ( m o d p ) x^2\equiv y^2\ (mod\ p) x2≡y2 (mod p)。
n为待分解整数，算法步骤
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计算 n \sqrt{n} n的简单连分数展开，同时计算:
P 0 = a 0 , P 1 = a 0 a 1 + 1 , P k = a k P k − 1 + P k − 2 P_0 = a_0,\ P_1 = a_0a_1+1,\ P_k = a_k P_{k-1}+P_{k-2} P0=a0, P1=a0a1+1, Pk=akPk−1+Pk−2
Q 0 = 1 , Q 1 = a 1 , Q k = a k Q k − 1 + Q k − 2 Q_0 = 1,\ Q_1 = a_1,\ Q_k = a_k Q_{k-1}+Q_{k-2} Q0=1, Q1=a1, Qk=akQk−1+Qk−2
W k = P k 2 − N Q k 2 W_k = P_k^2 - NQ_k^2 Wk=Pk2−NQk2
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寻找所需同余式
- 寻找 P k 2 ≡ W k ( m o d n ) P_k^2 \equiv W_k \ (mod\ n) Pk2≡Wk (mod n)，使得 W k W_k Wk为平方数
- 寻找多个 P k i 2 ≡ W x i ( m o d n ) P_{ki}^2\equiv W_{xi} \ (mod \ n) Pki2≡Wxi (mod n)，然后使用素因子分解，组合需要的同余式得到 ( P k 1 P k 2 . . . ) 2 ≡ ( ( − 1 ) e 0 p 1 e 2 . . . p m e m ) 2 ( m o d n ) (P_{k1}P_{k2}...)^2\equiv((-1)^{e0}p_1^{e2}...p_m^{em})^2 \ (mod\ n) (Pk1Pk2...)2≡((−1)e0p1e2...pmem)2 (mod n)
1.2 二次筛法
利用 W k = ( k + [ n ] ) 2 W_k = (k+[\sqrt{n}])^2 Wk=(k+[n])2寻找平方同余式
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简单版
计算 k = − 5 , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3... k=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3... k=−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3...时 W k W_k Wk的值，选择分解基并从 W k W_k Wk寻找可以凑成平方项的值，得到 ∏ ( [ n ] + n i ) 2 ≡ W k 1 ⋅ W k 2 ⋅ W k 3 . . . \prod{([\sqrt{n}] + n_i)}^2\equiv W_{k1}\cdot W_{k2}\cdot W_{k3}... ∏([n]+ni)2≡Wk1⋅Wk2⋅Wk3... ，后者是个平方元。k在0附近选择，范围可大可小。 -
复杂版
- 计算 W k W_k Wk，选择小于P且满足 ( n p ) = 1 (\frac{n}{p})=1 (pn)=1的素数作为分解基，取小于A的数作为k计算 W k W_k Wk。
- 从得到的 W k W_k Wk中，选出对分解基光滑的元素，即该元素的素因子都在分解基中。
- 每个元素不断除以分解基中的元素，若最后得到1，则选出。
- 从选出的元素中凑平方元。
- 得到 ∏ ( [ n ] + n i ) 2 ≡ W k i 1 ⋅ W k i 2 ⋅ W k i 3 . . . \prod{([\sqrt{n}] + n_i)}^2\equiv W_{ki_1}\cdot W_{ki_2}\cdot W_{ki_3}... ∏([n]+ni)2≡Wki1⋅Wki2⋅Wki3...
1.3 数域筛法
同样，想法设法构造 x 2 ≡ y 2 ( m o d n ) x^2\equiv y^2 \ (mod \ n) x2≡y2 (mod n)
思路：
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选择一个整数 θ ∉ Q \theta \notin Q θ∈/Q，由其产生代数数域 K = Q ( θ ) K=Q(\theta) K=Q(θ)， θ \theta θ的极小多项式为 f ( x ) f(x) f(x)
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寻找整数m使得 f ( m ) = k n f(m)=kn f(m)=kn，则可以定义同态环，K得阶 Z [ θ ] → Z n Z[\theta]\rightarrow Z_n Z[θ]→Zn: ϕ ( ∑ i = 0 n − 1 a i θ i = ∑ i = 0 n − 1 a i m i ( m o d n ) \phi(\sum_{i=0}^{n-1}a_i\theta^i=\sum_{i=0}^{n-1}a_im_i \ (mod \ n) ϕ(∑i=0n−1aiθi=∑i=0n−1aimi (mod n)
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寻找集合S， S ⊂ { ( a , b ) ∈ Z × Z ∣ g c d ( a , b ) = 1 } S\subset \{(a, b) \in Z\times Z | gcd(a, b) =1 \} S⊂{(a,b)∈Z×Z∣gcd(a,b)=1}，S满足
∏ ( a , b ) ∈ S ( a + b m ) = x 2 \prod_{(a,b)\in S}(a+bm)=x^2 ∏(a,b)∈S(a+bm)=x2
∏ ( a , b ) ∈ S ( a + b θ ) = α 2 \prod_{(a,b)\in S}(a+b\theta)=\alpha^2 ∏(a,b)∈S(a+bθ)=α2则 α 2 ≡ x 2 \alpha^2\equiv x^2 α2≡x2
如何构造 f ( x ) f(x) f(x)？取 m = [ n 1 d ] m=[n^{\frac{1}{d}}] m=[nd1]，将n写成m进制， n = C d m d + . . . + C 1 m + C 0 n = C_dm^d+...+C_1m+C_0 n=Cdmd+...+C1m+C0，
令 f ( x ) = C d x d + . . . + C 1 x + C 0 f(x)=C_dx^d+...+C_1x+C_0 f(x)=Cdxd+...+C1x+C0。
若 f ( x ) f(x) f(x)可约， f ( x ) = g ( x ) h ( x ) f(x)=g(x)h(x) f(x)=g(x)h(x)，则 h = g ( m ) h ( m ) h=g(m)h(m) h=g(m)h(m)，即得到n得非平凡因子。
1.4 Pollard ρ
f ( x ) = x 2 + 1 , x 0 = 2 , x k = f ( x k − 1 ) f(x)=x^2 + 1, \ x_0=2,\ x_k = f(x_{k-1}) f(x)=x2+1, x0=2, xk=f(xk−1)
计算 gcd ( x 2 k − x k , N ) , k = 1 , 2 , 3... \gcd(x_{2k} - x_k, N), \ k=1,2,3... gcd(x2k−xk,N), k=1,2,3...
变种：使用其他 f ( x ) f(x) f(x)，计算 gcd ( x g ( t ) − x t , N ) \gcd(x_{g(t)}-x_t, N) gcd(xg(t)−xt,N)而不是 x 2 k − x k x_{2k}-x_k x2k−xk
1.5 Pollard p-1
计算 gcd ( 2 ( k ! ) − 1 , N ) \gcd(2^{(k!)}-1, N) gcd(2(k!)−1,N)，k为自然数。可以选择前k个素数替换k的阶乘。
1.6 P+1算法
选择大于2得整数A构造Lucas序列
V 0 = 2 , V 1 = A , V k = A V k − 1 − V k − 2 V_0=2,\ V_1=A,\ V_k=AV_{k-1}-V_{k-2} V0=2, V1=A, Vk=AVk−1−Vk−2
计算多个 gcd ( V M − 2 , N ) \gcd(V_M - 2, N) gcd(VM−2,N)的值，其中M为连续阶乘1!, 2!, 3!, 4!，若结果不为1和N，则找到一个因子。
V k ! ( A ) = V k ( V ( k − 1 ) ! ( A ) ) V_{k!}(A) = V_k(\ V_{(k-1)!}(A)\ ) Vk!(A)=Vk( V(k−1)!(A) )
例如，A=9，则
V 1 ( 9 ) = V 1 ! ( 9 ) = 9 V_{1}(9) = V_{1!}(9) = 9 V1(9)=V1!(9)=9
V 2 ( 9 ) = V 2 ! ( 9 ) = 79 V_{2}(9) = V_{2!}(9) = 79 V2(9)=V2!(9)=79
V 3 ( 79 ) = V 3 ! ( 9 ) = 41886 V_{3}(79) = V_{3!}(9) = 41886 V3(79)=V3!(9)=41886
V 4 ( 41886 ) = V 4 ! ( 9 ) = 79378 V_{4}(41886) = V_{4!}(9) = 79378 V4(41886)=V4!(9)=79378
V 5 ( 79378 ) = V 5 ! ( 9 ) = 1934 V_{5}(79378) = V_{5!}(9) = 1934 V5(79378)=V5!(9)=1934
V 6 ( 1934 ) = V 6 ! ( 9 ) = 10582 V_{6}(1934) = V_{6!}(9) = 10582 V6(1934)=V6!(9)=10582
V 7 ( 10582 ) = V 7 ! ( 9 ) = 84241 V_{7}(10582) = V_{7!}(9) = 84241 V7(10582)=V7!(9)=84241
V 8 ( 84241 ) = V 8 ! ( 9 ) = 93973 V_{8}(84241) = V_{8!}(9) = 93973 V8(84241)=V8!(9)=93973
V 9 ( 93973 ) = V 9 ! ( 9 ) = 91645 V_{9}(93973) = V_{9!}(9) = 91645 V9(93973)=V9!(9)=91645
1.7 椭圆曲线法
选择椭圆曲线， y 2 = x 3 + a x 2 + b y^2=x^3+ax^2+b y2=x3+ax2+b，选择曲线上的点 P ( x , y ) P(x, y) P(x,y)，选择阶乘或几个素因子的最小公倍数作为 K = l c m ( 2 , 3 , 5 , 7... ) K=lcm(2,3,5,7...) K=lcm(2,3,5,7...)，计算 K P KP KP，当计算过程中λ无解的时候，计算分母 m 2 m_2 m2与N的公因子 gcd ( m 2 , N ) \gcd(m_2, N) gcd(m2,N) 即得到一个非平凡因子。
K P KP KP的计算主要依赖椭圆曲线上的加法操作:
P 1 = ( x 1 , y 1 ) , P 2 = ( x 2 , y 2 ) P_1=(x_1,y_1), P_2=(x_2, y_2) P1=(x1,y1),P2=(x2,y2)， P 1 + P 2 = P 3 P_1+P_2=P_3 P1+P2=P3
x 3 = λ 2 − x 1 − x 2 ( m o d n ) x_3=\lambda^2 - x1 - x2 \ (mod\ n) x3=λ2−x1−x2 (mod n)
y 3 = λ ( x 1 − x 3 ) − y 1 ( m o d n ) y_3=\lambda(x_1-x_3)-y_1 \ (mod\ n) y3=λ(x1−x3)−y1 (mod n)
若 P 1 = P 2 P_1=P_2 P1=P2，则 λ = 3 x 1 2 + a 2 y 1 ( m o d n ) \lambda=\frac{3x_1^2+a}{2y_1} \ (mod\ n) λ=2y13x12+a (mod n)
若 P 1 ≠ P 2 P_1\ne P_2 P1=P2，则 λ = y 1 − y 2 x 1 − x 2 ( m o d n ) \lambda=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \ (mod\ n) λ=x1−x2y1−y2 (mod n)
分数取模转换为一次同余式利用欧几里得算法求解: x = b a m o d n ⇒ b ≡ a x m o d n x=\frac{b}{a} \ mod\ n \Rightarrow b \equiv ax \ mod \ n x=ab mod n⇒b≡ax mod n。
- 若 gcd ( b , n ) ∤ a \gcd(b, n) \nmid a gcd(b,n)∤a，无解
- 否则利用欧几里得从后往前即可得到，如下
9x=5 (mod 25) => 9x + 25 * (-k) = 5 欧几里得不断取余数gcd(25, 9): 25 = 9 * 2 + 7 9 = 7 + 2 7 = 2 * 3 + 1 2 = 2 * 1 从而 1 = 7 - 2 * 3 = (25 - 9 * 2) - (9 - 7) * 3 = 25 - 9 * 2 - (9 - (25 - 9 * 2)) * 3 = 25 - 9 * 2 - (9 * 3 - 25) * 3 = 25 * 4 - 9 * 11 从而得到 25 * 4 + 9 * (-11) = 1 两边同乘以5有 25 * 20 + 9 * (-55) = 5 故 x = (-55) mod 25 x = 20 验证得 9*20 = 180 = 25 * 7 + 5 = 5 mod 25
2 离散对数
计算 x = log a y ⇒ y = a x ( m o d n ) x=\log_ay \Rightarrow y=a^x\ (mod\ n) x=logay⇒y=ax (mod n)
2.1 小步大步法
x = [ n ] x=[\sqrt{n}] x=[n]
小步
S = { ( y , 0 ) , ( y a , 1 ) , ( y a 2 , 2 ) . . . ( y a s − 1 , s − 1 ) m o d n } S=\{ (y, 0), (ya, 1), (ya^2, 2) ... (ya^{s-1}, s-1)\ mod\ n \} S={(y,0),(ya,1),(ya2,2)...(yas−1,s−1) mod n}
大步
T = { ( a s , 1 ) , ( a 2 s , 2 ) , ( a 3 s , 3 ) , . . . , ( a s 2 , s ) m o d n } T=\{ (a^s, 1), (a^{2s}, 2), (a^{3s}, 3), ..., (a^{s^2}, s) \ mod\ n \} T={(as,1),(a2s,2),(a3s,3),...,(as2,s) mod n}
之后按照第一项排序，寻找 y a r = a t s ya^r = a^{ts} yar=ats，然后计算 x = t s − r x=ts-r x=ts−r即得到结果。
2.2 Silver-Hellman-Pholig
计算 x ≡ log a b m o d q x\equiv \log_{a}b \ mod \ q x≡logab mod q
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首先得到q-1素因子分解， q − 1 ≡ ∏ i = 1 k p i α i q-1\equiv \prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i} q−1≡∏i=1kpiαi
-
针对每个素因子的幂 p i α i p_i^{\alpha_i} piαi，简写为 p α p^\alpha pα，将x分解为p进制形式，如下：
通过将x分解为p进制的形式计算同余式: x m o d p α = x 0 + x 1 p + x 2 p 2 + . . . + x α − 1 p α − 1 x\ mod\ p^\alpha = x_0 + x_1 p+x_2 p^2+...+x_{\alpha-1}p^{\alpha-1} x mod pα=x0+x1p+x2p2+...+xα−1pα−1
- 预处理得到 r p , j = a j ⋅ q − 1 p m o d q , 0 ≤ j < p r_{p, j}=a^{j\cdot\frac{q-1}{p}} \ mod \ q, \ 0\le j \lt p rp,j=aj⋅pq−1 mod q, 0≤j<p
- 计算 x i x_i xi
- b 1 = b b_1=b b1=b, 寻找满足 b 1 q − 1 p ≡ r p , j ( m o d q ) b_1^{\frac{q-1}{p}}\equiv r_{p,j} \ (mod \ q) b1pq−1≡rp,j (mod q) 的j， x 0 = j x_0=j x0=j
- b 2 = b ∗ a − x 0 b_2=b*a^{-x0} b2=b∗a−x0，寻找满足 b 2 ( q − 1 ) / ( p 2 ) ≡ r p , j ( m o d q ) b_2^{(q-1)/(p^2)}\equiv r_{p, j} \ (mod \ q) b2(q−1)/(p2)≡rp,j (mod q) 的j， x 1 = j x_1=j x1=j
- b 3 = b ∗ a − x 0 − x 1 p b_3=b*a^{-x_0-x_1p} b3=b∗a−x0−x1p，寻找满足 b 3 ( q − 1 ) / ( p 3 ) ≡ r p , j ( m o d q ) b_3^{(q-1)/(p^3)}\equiv r_{p, j}\ (mod \ q) b3(q−1)/(p3)≡rp,j (mod q) 的j， x 1 = j x_1=j x1=j
- …直到 x α − 1 x_{\alpha-1} xα−1
- 得到同余式 x m o d p α = x 0 + x 1 p + x 2 p 2 + . . . + x α − 1 p α − 1 x\ mod\ p^\alpha = x_0 + x_1 p+x_2 p^2+...+x_{\alpha-1}p^{\alpha-1} x mod pα=x0+x1p+x2p2+...+xα−1pα−1
-
通过中国剩余定理，将每一个 p i α i p_i^{\alpha_i} piαi对应的同余式组合，即可得到x
3 模p开平方
求解 x 2 ≡ a ( m o d p ) x^2\equiv a \ (mod \ p) x2≡a (mod p)，步骤
- 选取β使其为p得二次非剩余，即 ( β p ) = − 1 (\frac{\beta}{p})=-1 (pβ)=−1
- 分解p-1, p − 1 = 2 s t p-1=2^st p−1=2st，t为奇数
- 令e=0
- for i=1 to s-1
- 若 ( a β − e ) 2 s − ( i + 1 ) t ≠ 1 (a\beta^{-e})^{2^{s-(i+1)}t}\ne1 (aβ−e)2s−(i+1)t=1，则 e = e + 2 i e=e+2^i e=e+2i
- h = a β − e , b = β e 2 h t + 1 2 h=a\beta^{-e}, b=\beta^{\frac{e}{2}}h^{\frac{t+1}{2}} h=aβ−e,b=β2eh2t+1
- b即为解
另一种方法：
计算 x 2 ≡ a ( m o d p ) x^2\equiv a \ (mod \ p) x2≡a (mod p)
- 计算 p − 1 = 2 s ∗ m p-1=2^s*m p−1=2s∗m，m为奇数
- 选择模p非二次剩余z
- 初始化 c = z m , u = a m , v = a m + 1 2 c=z^m, u=a^m, v=a^{\frac{m+1}{2}} c=zm,u=am,v=a2m+1
- for i from s-1 to 1
if u 2 i − 1 ≡ − 1 ( m o d p ) u^{2^{i-1}}\equiv -1 \ (mod \ p) u2i−1≡−1 (mod p)
u = u c 2 u=uc^2 u=uc2
v = v c v=vc v=vc
c = c 2 c=c^2 c=c2 - 循环结束后v即为解
