300. 最长上升子序列（动态规划or动态规划+二分查找）

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

• 可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
• 你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

【中等】
【分析】动态规划：状态+状态转移方程。
设dp[i]为以num[i]结尾的前面子串{num[0],...,num[i]}的最长上升子串的长度。

• 初始化dp[i]=1
• dp[i]=max{dp[i],dp[j]+1} for j in range(i) if dp[i]>dp[j]
• $O(n^2)$

class Solution(object):
    def lengthOfLIS(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        if len(nums)==0:
            return 0
        dp=[1 for i in range(len(nums))]
        for i in range(1,len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[i]>nums[j]:
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)
        return max(dp)

---

【分析】动态规划+二分查找

• $O(nlogn)$；
• 在dp中装入nums中的值，用dp的下标表示其值在当前位置下的最长上升子串长度-1(为什么要-1，因为下标从0开始的)。
  • 如果dp[-1] : nums[i]直接加入dp的末尾；
  • 否则，在dp中利用二分查找，并且把dp[j]>=nums[i] and dp[j-1]的j这个位置的值替换成nums[i] ；
  • 如此就把动态规划中内循环的时间复杂度从$O(n)$降低到$O(logn)$了，不难想到dp数组中的数都是严格升序的。
• res随dp变化，取最长上升子串长度的最大值。
• e.g. nums=[1,3,6,7,9,4,10,5,6]
  • dp=[1],res=1
  • dp=[1,3],res=2
  • dp=[1,3,6],res=3
  • dp=[1,3,6,7],res=4
  • dp=[1,3,6,7,9],res=5
  • dp=[1,3,4,7,9],res=5，当nums[i]=4，要把4 insert到dp中去，利用二分法找到应该insert的位置。
  • dp=[1,3,4,7,9,10],res=6
  • dp=[1,3,4,5,9,10],res=6
  • dp=[1,3,4,5,6,10],res=6

---

注： # res既是当前i为止的最长升序子串的长度，也是dp中计入二分查找的升序数组的末尾下标。

class Solution(object):
    def lengthOfLIS(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        dp=[0 for i in range(len(nums))]
        res=0
        for i in range(len(nums)):
            l,r=0,res  
            while l>1                    
                if dp[mid]>=nums[i]:
                    r=mid
                else:
                    l=mid+1            
            dp[l]=nums[i]
            res=max(res,l+1)
        return res

注：进去while直接利用二分查找，巧妙十分啊！