最小割模型汇总

1.二分图点带权最小覆盖

二分图G中选取一个点集，所有边都连接了这个点集，最小化这个点权和。

这个可以说是最小割模板了
首先假设只有一对点，一条边

要选出较小值，建边(s->1,v1),(1->2,INF),(2->t,v2)

显然割开最小值。
对于多个点边，求最大流（最小割）即可。

例题：poj2125

求二分图点带权最小覆盖并输出方案。

对于一个二分图点带权最小覆盖的残余网络，只需跑一遍与s连通的点即可，若连通的是原图与t有连边的点，那么该边一定被割掉。同样，若不连通的是原图与s有连边的点，该边也一定割掉。

2.二分图最大点权独立集

求一个二分图G的点集，该点集满足两两不连通，最大化点集权值。

引理：二分图独立集与最小点覆盖互补。

因为点权和一定，此时二分图点带权覆盖达到最小值。求二分图点带权最小覆盖即可。

3.最大权闭合子图

求图G的一个点集，该点集满足所有边都连向点集内的边，求点集的最大值。（允许点权带负）。

从最小割的原理出发：首先假设一条边的两个点集都属于一个集合，之后要把两个点分开，一个连s，一个连t。

原问题等价于给定一些二元组，选了 a 就必须选择 b 。
其次，将原问题转化为最小割问题，原图的边转化为正无穷，那么这条边不可能被割掉，保证了解法的正确性。
考虑先将所有点看做一个集合，因为存在负数，那么就转负为正，并将所有负点连向t点，表示选取该点要付出的代价，同样，对于每个正值点，连向s点，表示舍弃该点损失的价值。先将正权值相加，要最小化总的权值，即求该图最小割（即最少需要减去多少）。

例题：poj2987:Firing

求一个有向图的最大权闭合子图，并输出满足最大权的最小点数方案的个数。

可以证明求出最小割后的残余网络与s相连的点是最小方案（证明略）。

4.矩阵

更加广泛的说，是一类与横纵坐标有关的转化。

poj3041:Asteroids

给一个n*m的矩阵，有些格子有障碍，每次操作可清除整列或整行，求最小切割次数。

将每行看做一个点，每列看做一个点，点值都为1，显然要将这两个点割开，模型同二分图点带权最小覆盖。

bzoj2406: 矩阵

给定一个矩阵A，填充矩阵B，以最小化：

max⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪max|∑iaij−bij|max|∑jaij−bij|

要使最大值最小，先二分答案，从而变成了一道判定性问题。

4.最小割的唯一性

ZOJ2587

判定最小割是否唯一。

做法：

如何判定网络的最小割是否唯一？
同样求一次最大流后在残量网络 R 中以正向弧对 s、以正向弧的逆对 t 作 DFS，只不过这次只用一个 flag[i]标记点 i 是否在两次 DFS 中被探访过。最后扫一遍所有点，如果存在没有被探访过的，则说明最小割不唯一。

顺便一提，此时在残量网络上做Tarjan求SCC，会将原图分为S集合,T集合和一堆可以属于S,T集合的SCC，之间被满流边连接，此时就可以搞事了。

BZOJ1797

判断最小割的可行边，必经边。

用到刚才所提的思想，那么直接连接 S,T 的边是必经边，连接任意两个联通块的边是可行边（因为两边可以任意属于一个集合）。

Code:http://paste.ubuntu.com/26116589/

5.图的连通性

Ural1277

每个点拆点求最小割就好了。

6.异或相关

BZOJ2400

好题。题解请看:http://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/78728777

spoj1693

此题同上题，可以参考上题题解。唯一的不同是上题不能改变，这题可以改变，所以要改变从源汇点连边的容量。