差分数组是个啥？能干啥？怎么用？（差分详解+例题）

差分数组是个啥

差分数组很明显就是个数组呗，，，

本菜鸡学的比较浅，先说一下我自己认识的差分数组吧！

先解释一下什么是 差分：

差分其实就是数据之间的差，什么数据的差呢？就是上面所给的原始数组的相邻元素之间的差值，我们令 d[i]=a[i+1]-a[i]，一遍for循环即可将差分数组求出来。

下面给你一个栗子，给出一个差分数组先

差分数组怎么求

其实差分数组是一个辅助数组，从侧面来表示给定某一数组的变化，一般用来对数组进行区间修改的操作

还是上面那个表里的栗子，我们需要进行以下操作：

1、将区间【1，4】的数值全部加上3

2、将区间【3，5】的数值全部减去5

很简单对吧，你可以进行枚举。但是如果给你的数据量是1e5，操作量1e5，限时1000ms你暴力枚举能莽的过去吗？T到你怀疑人生直接。这时我们就需要使用到差分数组了。

其实当你将原始数组中元素同时加上或者减掉某个数，那么他们的差分数组其实是不会变化的。

利用这个思想，咱们将区间缩小，缩小的例子中的区间 【1,4】吧这是你会发现只有 d[1]和d[5]发生了变化，而d[2],d[3],d[4]却保持着原样，

在进行下一个操作，

这时我们就会发现这样一个规律，当对一个区间进行增减某个值的时候，他的差分数组对应的区间左端点的值会同步变化，而他的右端点的后一个值则会相反地变化，其实这个很好理解

其实也就这么一点代码就ok了

while(m--){//操作次数
	cin>>left>>right>>change;//左右端点及其变化的值
	d[left]+=change;
	d[right+1]-=change;
}

差分数组能干啥

既然我们要对区间进行修改，那么差分数组的作用一定就是求多次进行区间修改后的数组喽

注意 只能是区间元素同时增加或减少相同的数的情况才能用

因为我们的差分数组是由原始数组的相邻两项作差求出来的，即 d[i]=a[i]-a[i-1]；那么我们能不能反过来，求得一下修改过后的a[i]呢？

直接反过来即得  a[i]=a[i-1]+d[i] 

事实证明这是正确的，具体证法就不再推广，有空再补上吧；

更新数组a的方式则是下面的那一点点代码，这样我们就求出来了更新后的数组 a，是不是比线段树快多了呢？

for(int i=1;i<=n;i++)
    a[i]=a[i-1]+b[i];

差分数组怎么用

翻来覆去还是那句，区间修改，当然了，有时候要结合树状数组来使用。直接看题目吧

HDU-1556 Color the Ball  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1556

这个题果的不能再果了吧，看懂上面的，闭着眼也能敲出来

直接附上代码吧

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int mm=1e5+10;

int a[mm],b[mm];
int x,y;
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)&&n){
        mem(a,0);
        mem(b,0);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            b[x]++;
            b[y+1]--;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            a[i]=a[i-1]+b[i];
       
        for(int i=1;i

再看下一个稍微进阶一点的题目

POJ -3263 Tallest Cow  http://poj.org/problem?id=3263

这道题他要你求出每头牛的最大可能的高度，我们的思路就是先让所有的牛都和最高的一样高，关于他给到的牛能看到的区间进行修改，让中间的数至少减一，注意这里修改的一定是开区间，区间端点不能修改。再一个就是关于去重问题。。。谁会想到他还有这么一个坑呢？？？？

只要看透了是个差分也很简单，代码附上

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int mm=1e4+10;

int a[mm],b[mm];
int vis[mm][mm];
int main()
{
	int n,pos,h,r;
	scanf("%d%d%d%d",&n,&pos,&h,&r);
	for(int i=0;i<=h+1;i++)
		a[i]=h; 
	int x,y; 
	for(int i=1;i<=r;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(x>y) swap(x,y);// 
		if(vis[x][y])//判重 
			continue;
		vis[x][y]=1;
		b[x+1]--;//后面的减少 
		b[y]++;//前面的增加 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=a[i-1]+b[i];
		printf("%d\n",a[i]);
	} 
	return 0;
}

今天测试碰到了一个二阶的差分题，我居然不会，用一阶差分直接被T了就很难受，听了旁边的大佬才知道，可以用两个差分来做，膜拜一下Orz

CodeForces - 296C  Greg and Array? 

https://cn.vjudge.net/problem/CodeForces-296C

首先说一下，这道题的题意吧，反正我一开始模拟了半年也没看懂，太难受了。

这道题意的坑在于那k个询问：

其实他给的k个询问并不是直接让你修改的区间，而是一个问题编号的区间，他给的[L,R]是告诉你要执行编号为 L~R 的操作

这就告诉我们要把问题存起来先，也算是一个离线操作吧。

这道题显然可以使用线段树，但是我觉得要打好多行代码，就选择了刚学的差分，我是用一阶差分做的，直接两层大循环，然后T死，这里有个代码，来纪念一下我自己被T惨的下场，不具备参考价值 嘻嘻嘻。https://paste.ubuntu.com/p/zzSr63cM5J/

这时我们就需要 用两个差分，第一个差分来维护要进行的操作的区间端点，就是那K个询问，这是有点难受的，反正我一上来没有想到，是旁边的大佬偷偷告诉我的，第二个差分就是来维护我们的原始数组，进行修改，修改的方法可以往上看↑↑↑↑↑↑

下面是可以参考的代码了：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll mm=1e5+10;

ll a[mm],d[mm];
ll op[mm][5];
ll n,m,k;
ll cnt[mm];
ll num[mm];
int main()
{
	cin>>n>>m>>k;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	for(ll i=1;i<=n+1;i++)
		d[i]=a[i]-a[i-1];	

	for(ll i=1;i<=m;i++)
		cin>>op[i][1]>>op[i][2]>>op[i][3];
		
	ll x,y;
	while(k--){//lixian
		cin>>x>>y;
		cnt[x]++;
		cnt[y+1]--;
	}
	
	for(int i=1;i<=m;i++)
		num[i]=num[i-1]+cnt[i];
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		d[op[i][1]]+=op[i][3]*num[i];
		d[op[i][2]+1]-=op[i][3]*num[i];
	}
	
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		a[i]=a[i-1]+d[i];
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		cout<

还有一道高阶题目：

POJ 3468-A Simple Problem with Integers   http://poj.org/problem?id=3468

这个题也果的一批，让你进行区间修改与区间求和查询，刚学线段树的时候用线段树写的，那是一个受罪啊，也就写了两千多个字符吧，是真的累。。。下面是一片关于这道题线段树解法的blog

https://blog.csdn.net/qq_44786250/article/details/98474701

这里我们讲一个高深一点的做法，那就是差分。但是有一点，差分对区间修改好用，但是区间求和还是需要暴力啊，依旧让你TTT这就是这道题的高深之处了，那就是结合树状数组，差分负责区间修改，树状数组进行区间求和，下面的代码也就888个字符，不过有点费脑，或许用的多了就好了吧！

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll mm=1e5+10;

ll n,m;
ll a[mm],b[mm],c[mm];
ll sum[mm];

ll lbt(int x){
	return x&-x;
}

void update(int pos,int k){
	for(int i=pos;i<=n;i+=lbt(i)){
		b[i]+=k;
		c[i]+=k*(pos-1);
	}
}

ll getsum(int pos){
	ll res=0;
	for(int i=pos;i>0;i-=lbt(i)){
		res+=pos*b[i]-c[i];
	}
	return res;
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);	
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}			
	char op[2];
	ll x,y,z;
	while(m--){
		scanf("%s",op);
		if(op[0]=='Q'){
			scanf("%lld%lld",&x,&y);
			printf("%lld\n",sum[y]-sum[x-1]+getsum(y)-getsum(x-1));
		}
		else {
			scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
			update(x,z);
			update(y+1,-z);	
		}	
	}
	return 0;
}