Task2：数理统计与描述性分析（2天）

91-听说大家很喜欢篮球队-tang

学习任务

• 理论部分
  • 统计量与抽样；常用统计量；
  • 数据集中与离散趋势的度量；
  • 分布特征，偏度与峰度；
• 练习部分
  • 做理论知识点的笔记；
  • python实现数据各维度的描述性分析；

知识点

• 总体:研究对象的全体
• 个体:组成总体的每个基本单元
• 样本:从总体 X 中随机抽取一部分个体 $X_1,X_2,...,X_n$ ,称 $X_1,X_2,…,X_n $为取自 $X$ 的容量为 $n$ 的样本
• 要求每次抽取必须是随机的、独立的
• 随机:每个个体被抽到的机会是均等的
• 简单随机样本:若$x_1,x_2,...,x_n$ 相互独立，且每个 $x_i$ 与 $X$ 同分布，则称$x_1,x_2,...,x_n$ 为简单随机样本
• 样本容量:样本中包含的个体个数$n$
• 样本具有两重性:在抽样后是随机的数值;抽样是随机的
• 随机样本:$X_1,X_2,...,X_n$
• 样本观测值:$x_1,x_2,...,x_n$
• 统计推断:数理统计的任务是采集和处理带有随机影响的数据，或者说收集样本并对之进行加工，以此对所研究的问题作出一定的结论，这一过程称为为统计推断
• 统计量:对样本进行加工整理,统计量是样本的某种函数
• 抽样分布:设 $X_1,X_2,...,X_n$ 是总体 $X$ 的一个简单随机样本， $T(X_1,X_2,...,X_n)$ 为一个 $n$ 元连续函数，且 $T$ 中不包含任何关于总体的未知参数，则称 $T(X_1,X_2,...,X_n)$ 是一个统计量，称统计量的分布为抽样分布
• 样本均值:$\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$

# 均值函数
def avg(l: list) -> float:
    """

    :type l: list
    """
    return sum(l) / len(l)

• 样本方差:$S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$
• $k$阶样本原点矩:$A_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^k$
• $k$阶样本中心矩:$M_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^k$
• 顺序统计量:样本按样本观测值从小到大重新排序
• 最小顺序统计量:样本观察中最小的一个
• 最大顺序统计量:样本观察中最大的一个
• 数据集中趋势的度量
  • 平均数
  • 中位数
  • 频数
  • 众数
  • 百分位数:$p分位点$
• 数据离散趋势的度量
  • 方差
  • $k$阶样本中心矩
  • $k$阶样本原点矩
  • 标准差
  • 极差
  • 变异系数:标准离差率/单位风险
  • 四分位差
• 分布特征
• 离散型随机变量
• 概率函数
• 概率密度函数
• 分布函数
• 正态分布
• 偏度:也称为偏态，是统计数据分布偏斜方向和程度的度量
• 左偏
• 右偏
• 峰度:分布曲线在平均值处峰值高低的特征数
• 样本峰度系数
• 数理统计学中的总体是指与总体相联系的某个(或某几个)数量指标 X 取值的全体

代码实现

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

X = [1, 3, 5, 1, 2, 33, 5, 0, 8, 8]

# numpy:均值,中位数
X_mean = np.mean(X)
X_med = np.median(X)
print("X的均值为:", X_mean)
print("X的中位数为:", X_med)

# scipy:众数
# mode方法统计分别统计行列向量中的众数,多个众数返回最小的
X_mode1 = stats.mode(X)[0][0]
print("X的众数为:", X_mode1)

#将一维数组转成Pandas的Series，然后调用Pandas的mode()方法
X_ser = pd.Series(X)
X_mode2 = X_ser.mode()
print("X的众数为:",X_mode2)

# numpy:方差,标准差,变异系数
X_var = np.var(X)
X_std = np.std(X)
X_cv = X_std / X_mean
print("X的方差为:", X_var)
print("X的标准差为:", X_std)
print("X的变异系数为:", X_cv)


# 生成标准正态分布的随机数（10000个）

data = list(np.random.randn(10000))

plt.hist(data, 1000, facecolor='g', alpha=0.5)
plt.show()

# 偏度,峰度
s = pd.Series(data) # 将数组转化为序列

print('偏度系数', s.skew())
print('峰度系数', s.kurt())