图像检索:EMD距离(Earth Mover's Distance)及纠错

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在理解EMD距离模型时，需要先对《运筹学》中运输问题，做一下了解。下面给出几个运输问题的小例子，作为补充知识：

那么，对于上述问题我们发现是一个 产量=销量=500 ，即产销平衡的问题，可以提出这样的数学模型：

假设运到物品的个数为，用代表运到单个物品的运费（在上述表格中都有），用表示产地的产量，表示销地的销量，则总运费为，使总运费最小的数学模型为：

还有令两种可能就是 产量>销量 或者 产量<销量，这里不做模型的讨论，上面三种运输问题都可以用单纯形法进行求解。因为只有当“产量=销量”即：时，EMD是作为距离的。

以下给出EMD距离的具体定义和相关证明

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EMD是由 2000年YOSSI RUBNER在《The Earth Mover's Distance as a Metric for Image Retrival》论文中提出的。　

设

其中

，

代表一张图片的特征，代表另一张图片的特征，代表特征的权重，代表特征的权重，代表和之间的距离（L1,L2,等距离），

通过以下最优化问题：

解出，EMD的定义为：

                                                                                                        。

我们知道距离定义必须满足三点：正定性，齐次性，三角不等式，正定性和齐次性很容易证明。下面主要证明三角不等式。作者YOSSI RUBNER证明了，当

时，EMD是满足三角不等式的，即EMD是距离。

所以注意：在使用EMD距离时，要让权重的和是相等的。

三角不等式：

设是到的最优化解，是到的最优化解，其中

，

，

，

。

需要证明三角不等式：。

证明：我们首先找到从到的最优化问题的可行解为。

我们设代表从第个“产地”()中转到第个中转地（），再运到第个销地()的“物品”的数量，则我们可得到：

，。

令：

。

下面证明是到的最优化问题的可行解，满足四个约束条件即可：

第四个约束条件：                                                 

均满足四个条件，所以，是到的最优化问题的可行解，则：

所以，EMD就是在“产销平衡”时是实实在在的距离。

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在作者的个人主页给出了C代码。

OPencv也已经实现了EMD，我们用EMD距离比较两个直方图，下面说一下，用OPencv中的EMD函数注意事项：

，

注意：红色一列是每一行特征的权重，权重后边是坐标，我们看到和的红色这一列和等于1，即在使用时，这一列一定要相等,即产销平衡。

代码我不写了，就把上面这个矩阵放入Mat，然后带入EMD这个函数即可。

在原论文中只证明了总权重相等时，EMD才是距离，但是在Opencv的手册，介绍EMD说，总权重可以不相等，这一点比较困惑！

2014年8月5日，我在做基于颜色的图像检索时，发现EMD距离，也可以做三维直方图

，

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