图（最短路径算法————迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法）

一：

最短路径算法

1. 迪杰斯特拉算法

2. 弗洛伊德算法

二：

1. 迪杰斯特拉算法

求 从源点到其余各点的最短路径

依 最短路径的长度递增 的次序求得各条 路径

路径长度最短 的最短路径的特点：

在这条路径上， 必定只含一条弧 ，并且这条 弧的 权值最小 。

下一条 路径长度次短 的最短路径的特点：

它只可能有两种情况：或是 直接从源点到该 点 ( 只含一条弧 ) ； 或者是 从源点经过顶点 v 1 ，再到达该顶点 ( 由两条弧组成 ) 。

再下一条 路径长度次短 的最短路径的特点 :

它可能有三种情况：或者是 直接从源点到该 点 ( 只含一条弧 ) ； 或者是 从源点经过顶点 v 1 ，再到达该顶点 ( 由两条弧组成 ) ；或者是 从源点经过顶点 v 2 ，再到达该顶点。

其余最短路径的特点：

它或者是 直接从源点到该点 ( 只含一条弧 ) ； 或者是 从源点经过已求得最短路径的顶点， 再到达该顶点 。

迪杰斯特拉算法

算法：

(a) 初始化： 用起点v到该顶点w的直接边(弧)初始化最短路径，否则设为∞；

(b) 从未求得最短路径的终点中选择路径长度最小的终点u：即求得v到u的最短路径；

(c) 修改最短路径： 计算u的邻接点的最短路径，若(v,…,u)+(u,w)<(v,…,w)，则以(v,…,u,w)代替。

(d) 重复 (b)-(c) ，直到求得v到其余所有顶点的最短路径。

特点：总是按照从小到大的顺序求得最短路径。

顶点 A 到其他顶点的最短路径

Dijkstra 算法可描述如下：

¶ 初始化： S ← { v 0 }; 

         dist [ j ] ← Edge [0][ j ],   j = 1, 2, …, n - 1;

                                         // n 为图中顶点个数

·   求出最短路径的长度：

         dist [ k ] ← min{ dist [ i ] },  i Î V - S ;

         S ← S U { k };

¸   修改：  

      dist [ i ] ← min{ dist [ i ], dist [ k ] + Edge [ k ][ i ] },

               对于每一个 i Î V - S ;

¹  判断：  若S = V, 则算法结束，否则转

 

二：

弗洛伊德算法

求每对顶点之间的最短路径。

依次计算矩阵A(0)，A(1)，…，A(n)。

A (0) 为邻接矩阵，

计算A(k)时，
A (k) (i,j)=min{A (k-1) (i,j), A (k-1) (i,k)+A (k-1) (k,j)} 。

A(0) [i][j]是从顶点vi 到vj , 中间顶点是v0的最短路径的长度,  A(k) [i][j]是从顶点vi 到vj ,  中间顶点的序号不大于k的最短路径的长度, A(n-1)[i][j]是从顶点vi 到vj 的最短路径长度。

 

 

弗洛伊德算法的基本思想是：

从 v i   到 v j   的所有可能存在的路径中，选出 一条长度最短的路径 。

n 次试探 :

若 i ,v j > 存在，则存在路径 {v i ,v j }

                // 路径中不含其它顶点

若 i ,v 0 >, 0 ,v j > 存在，则存在路径 {v i ,v 0 ,v j }

             // 路径中所含顶点序号不大于 0

若 {v i ,…,v 1 }, {v 1 ,…,v j } 存在，

   则存在一条路径 {v i , …, v 1 , …v j }

             // 路径中所含顶点序号不大于 1

      …

依次类推，则 vi 至 vj 的最短路径应是上述 这些路径中，路径长度最小者 。

 

求每对顶点之间的最短路径

 

 

 

弗洛伊德算法

技巧：计算A(k)的技巧。

第 k 行、第 k 列、对角线的元素保持不变， 对其 余元素，考查 A(i,j) 与 A(i,k)+A(k,j) （第k列i“行”元素加上第k行j“列”元素，简记为“行+列”），如果后者更小则替换A(i,j)，同时修改路径。

本节给出的求解最短路径的算法不仅适用于带权有向图，对带权无向图也可以适用。因为带权无向图可以看作是有往返二重边的有向图，只要在顶点vi 与vj 之间存在无向边(vi , vj )，就可以看成是在这两个顶点之间存在权值相同的两条有向边< vi , vj >和< vj , vi >。

试利用Dijkstra算法求下图中从顶点1到其他各顶点间的最短路径，写出执行算法过程中各步的状态