【统计】NOIP2016普及组[魔法阵]题解
题目概述
（ps：我知道2017年来写NOIP2016的题解好像是蒟蒻干的事情，不过该写的还是要写的=_=|||）
给出m个物品和魔法值的最大值n，第i个物品魔法值为Xi（1<=Xi<=n），其中如果存在Xa＜Xb＜Xc＜Xd，并且满足以下两个条件，则称这四个物品构成了一个魔法阵：
1.Xb-Xa=2(Xd-Xc)
2.Xb-Xa＜(Xc-Xb)÷3
求每个物品作为魔法阵的a，b，c，d物品的次数。
解题报告
【解法一】
m^4枚举，限制枚举范围，减少枚举次数。
期望得分：75分
【解法二】
n^3枚举，枚举前3个，推出第4个，限制枚举范围，减少枚举次数。
期望得分：85分
【解法三】
先n^2枚举，提前预处理sum[i][j]表示>=i，差值为j的二元组有几个，然后n^2枚举前2个，用sum直接得到个数。限制枚举范围，减少枚举次数。但空间无法承受。
期望得分：95分
【解法四】（标准解法）
由于【解法三】空间无法承受，但时间复杂度良好，不禁让我们去想解法三的优化。如果sum没有后面一维，那么完全承受得住。题目中的两个条件让我们发现Xa,Xb和Xc,Xd是独立的，这两个唯一的联系就是差值（记j=Xd-Xc，这里不用Xb-Xa的原因是Xb-Xa必须是偶数，太麻烦），那么完全可以枚举差值，然后直接拆开Xa,Xb和Xc,Xd，分开来做，就可以减少sum后面差值的那一维！
示意图：（后面Xa,Xb,Xc,Xd简写为a,b,c,d；ha[i]表示i的个数；num[i][0~3]表示i作为a,b,c,d的答案个数）
（b为a+2*j，c至少为a+8*j+1，d至少为a+9*j+1）
1.处理1,2
枚举差值之后，sum定义不变，sum[i]表示>=i，差值为j的二元组有几个。那么只需要O(n)的时间我们就可以处理出sum[i]。处理完毕之后，枚举a的值（当然也可以枚举b的值），然后因为c至少为a+8*j+1，那么对于一对j和a：
num[a][0]+=sum[a+8*j+1]*ha[a+2*j]
num[a+2*j][0]+=sum[a+8*j+1]*ha[a]
2.处理3,4
同理，但是sum定义要稍微改变一下，要倒着来，sum[i]表示<=i，差值为j的二元组有几个。然后枚举d的值（当然也可以枚举c的值），然后因为d至少为a+9*j+1，那么对于一对j和d：
num[d][0]+=sum[d-7*j-1]*ha[d-j]
num[d-j][0]+=sum[d-7*j-1]*ha[d]
然后还是一如既往地限制枚举范围，减少枚举次数，这就不阐述了，根据代码参悟吧。
期望得分：100分
示例程序
#include'0') {if (ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
while ('0'<=ch&&ch<='9') tot=tot*10+ch-48,ch=getchar();
x=tot*f;
return Eoln(ch);
}
int main()
{
int i,j,MAX=0,MAXj;
freopen("magic.in","r",stdin);
freopen("magic.out","w",stdout);
readi(n);readi(m);
for (i=1;i<=m;i++)
{
readi(a[i]);ha[a[i]]++; //记录a[i]的个数
if (a[i]>MAX) MAX=a[i];
}
if (n>MAX) n=MAX;MAXj=(n-2)/9; //MAXj按照d来算就行了，a越小且d越大j才能越大，那么a取1代入d，d当成n即可
for (j=1;j<=MAXj;j++) //枚举j
{
memset(sum,0,sizeof(sum)); //将sum清零
for (i=n-j;i>=1;i--) sum[i]=sum[i+1]+ha[i]*ha[i+j]; //记录sum
for (i=1;i<=n-9*j-1;i++) num[i][0]+=sum[i+8*j+1]*ha[i+2*j],num[i+2*j][1]+=sum[i+8*j+1]*ha[i]; //累计num
}
for (j=1;j<=MAXj;j++)
{
memset(sum,0,sizeof(sum));
for (i=2*j;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+ha[i-2*j]*ha[i];
for (i=9*j+2;i<=n;i++) num[i-j][2]+=sum[i-7*j-1]*ha[i],num[i][3]+=sum[i-7*j-1]*ha[i-j];
}
for (i=1;i<=m;i++) printf("%d %d %d %d\n",num[a[i]][0],num[a[i]][1],num[a[i]][2],num[a[i]][3]); //输出作为a,b,c,d的次数
return 0;
}