地图染色问题（回溯法）

参考

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概述

就是用颜色去染地图上不同的行政区域，使得相邻的区域不同色即可。首先我们要解决的第一个问题是，我们最少使用多少种颜色就可以解决任意多块行政区域的染色。这个问题的答案，伟大的数学家已经告诉我们了，那就是只需四种颜色。这也就是所谓的四色定理。

回溯法

第一感觉，遇到错误能及时止损的暴力？（误

回溯法通用解题步骤：
（1）针对所给问题，定义问题的解空间
（2）确定易于搜索的空间结构
（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

解空间

空间结构

剪枝

局部有效着色：如果其中i个顶点已经着色，满足相邻两个顶点的颜色都不一样并且仍有颜色未被使用，就称当前的着色是局部有效着色。

图

首先，怎样让计算机知道图的样子呢？毕竟计算机看不懂图。所以我们需要一种方法，能描述这张图。具体描述什么呢？只需描述各区域间的关系即可。这里可以用图（数据结构）来描述。
为什么要用图呢？因为两个区域是否相邻是一种关系，而这是一个多对多的关系，所以要用图。
存储结构是无向图的邻接矩阵，邻接矩阵一定是对称的。如果[i]和[j]相邻，那么[i][j]和[j][i]赋值为1.这样就知道所有的图之间的相邻关系了。
这样的话，只要所有1的位置，[i]和[j]颜色不同即可。

算法程序分析

从根节点开始，对根节点用第一种颜色进行着色，第一个肯定着色有效，接下去接着对下一个节点着色，从第一种颜色依次开始试，然后判断这个节点颜色与相邻节点是否相同，有相同颜色则判定为无效着色，继续用第二种颜色着色，直到着色有效为止，若没有办法有效着色，则回退。改变前一个节点的颜色。

算法程序设计

输入一个邻接矩阵表示图。
用一个栈存储所有节点的颜色。（方便回退）
判断和之前节点是否重色

代码

#include
#include
# include
# define SIZE 5
using namespace std;
void inputGraph(int graph[][SIZE]);//输入图 
void color(int s[], int graph[][SIZE]);//着色 
void output(int s[]);//输出函数 
int main()
{
	int graph[SIZE][SIZE];/*{{0,1,1,1,1,1,0},//地图的邻接矩阵
					{1,0,0,0,0,1,0},
					{1,0,0,1,1,0,0},
					{1,0,1,0,1,1,0},
					{1,0,1,1,0,1,0},
					{1,1,0,1,1,0,0},
					{0,0,0,0,0,0,0}};*/
	int s[SIZE];//节点颜色数组 
	int i, j;
	for(i = 0; i < SIZE; i++){
		s[i] = 0;
	}//所有节点颜色置0
	inputGraph(graph);//输入图
	color(s, graph);//着色
	output(s);//输出着色情况
	return 0; 
}
void inputGraph(int graph[][SIZE]){
	int i, j; 
	for(i = 0; i < SIZE; i++){
		for(j = 0; j < SIZE; j++){
			cin>>graph[i][j];
		}
	}
}
void color(int s[], int graph[][SIZE]){
	int k;
	int color = 1;
	int area = 0;
	int flag = 0; 
	s[area] = color;//第一个区域先着色1 
	area++;
	//给所有节点着色 
	while(area < SIZE ){
		color = s[area] + 1;//从当前颜色的下一个颜色开始试（若当前颜色为0，则说明没有着色过，
		//则从1开始，若已经着色过，说明是回退过来的，则前面的已经试过了，只要试下面的颜色） 
		flag = 0;
		//尝试为area着色 
		while(color <= 4 && flag == 0){
			for(k = 0; k < area; k++){
				//如果当前结点和所有与它相邻结点有重色的 
				if(graph[area][k] * s[k] == color){
					color++;
					break;//直接跳出循环，试下一种颜色 
				}
			}
			//找到不重色的 
			if(k == area ){
				flag = 1;
			}
		}
		//如果怎么着色都会重色 
		if(color > 4){
			s[area] = 0;//当前区域置0 ！！！注意这一步别忘掉
			area--;//前面一个重新着色 
		}
		else{
			s[area] = color;
			area++;
		} 
	} 
}
void output(int s[]){
	int i = 0;
	for(i = 0; i < SIZE; i++){
		cout<<"第"<<i + 1<<"个区域的颜色是"<<s[i]<<endl; 
	}
}

测试用例

1.SIZE = 7
input:
0 1 1 1 1 1 0
1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0
output:
第1个区域的颜色是1
第2个区域的颜色是2
第3个区域的颜色是3
第4个区域的颜色是2
第5个区域的颜色是4
第6个区域的颜色是3
第7个区域的颜色是1
2.SIZE = 5
input:
0 1 1 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
0 1 0 1 0
output:
第1个区域的颜色是1
第2个区域的颜色是2
第3个区域的颜色是3
第4个区域的颜色是4
第5个区域的颜色是1