hdoj 1573 X问题 【CRT】【求解方程组在 N内正整数解的个数】

X问题 Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 4405    Accepted Submission(s): 1420 Problem Description 求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。   Input 输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。   Output 对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。   Sample Input 3 10 3 1 2 3 0 1 2 100 7 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 10000 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9   Sample Output 1 0 3

了解CRT在合并方程组时系数的变化，就可以KO这道题。

在合并n-1次后，我们得到一个这样的方程组a * x = c (mod lcm) 其中 lcm = (m[0], m[1], m[2]... m[n-1])。

我的代码在CRT中返回的是-1 或 最小的正整数解temp。

那么需要我们分类来讨论解的情况：

1，返回-1，无解输出0；

2，temp > N，无解输出0； 这里N是题中 解大小的限制。

3，temp < N，输出(N - temp) / lcm + 1。

   (1) 最小非负解为0，这时temp = lcm，最后答案 N / lcm = (N - lcm) / lcm + 1 = (N - temp) / lcm + 1。

   (2) 最小非负解非0，这时temp + k * lcm <= N，最后答案 (N - temp) / lcm + 1。

AC代码：

#include 
#include 
#include 
#define MAXN 20
#define LL long long
using namespace std;
LL gcd(LL a, LL b){
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}
void exgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
{
    if(b == 0) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else
    {
        exgcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL lcm;//记录所有方程m系数的LCM
LL CRT(LL l, LL r, LL *m, LL *a)
{
    lcm = 1;
    for(LL i = l; i <= r; i++)
        lcm = lcm / gcd(lcm, m[i]) * m[i];
    for(LL i = l+1; i <= r; i++)
    {
        LL A = m[l], B = m[i], d, x, y, c = a[i] - a[l];
        exgcd(A, B, d, x, y);
        if(c % d)
            return -1;
        LL mod = m[i] / d;
        LL k = ((x * c / d) % mod + mod) % mod;
        a[l] = m[l] * k + a[l];
        m[l] = m[i] / d * m[l];
    }
    if(a[l] == 0)
        return lcm;
    return a[l];
}
LL m[MAXN], a[MAXN];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        LL n, N;
        scanf("%lld%lld", &N, &n);
        for(LL i = 0; i < n; i++)
            scanf("%lld", &m[i]);
        for(LL i = 0; i < n; i++)
            scanf("%lld", &a[i]);
        LL temp = CRT(0, n-1, m, a);
        if(temp == -1 || temp > N)//无解
            printf("0\n");
        else
        {
            LL ans = (N - temp) / lcm + 1;
            printf("%lld\n", ans);
        }
    }
    return 0;
}